Publicaciones Recientes
Suma de fracciones 1/ab
Dado un número natural n≥2 considere todas las fracciones de la forma 1/ab, donde a y b son números naturales, primos entre sí y tales que a<b≤n a+b>n Demuestre que para cada n, la suma de estas fracciones es 1/2.
Método para distribuir ceros y unos en un tablero
Tenemos un tablero cuadriculado de k2−k+1 filas y k2−k+1 columnas, donde k=p+1 y p es un número primo. Para cada primo p, dé un método para distribuir números entre 0 y 1, un número en cada casilla del tablero, de modo que en cada fila haya exactamente k números 0 en cada columna haya exactamente k números 0 y además no haya ningún rectángulo de lados paralelos a los lados del tablero con números 0 en sus cuatro vértices.
Punto medio de la mediana
Sea M el punto medio de la mediana AD del triángulo ABC (D pertenece al lado BC). La recta BM corta al lado AC en el punto N. Demuestre que AB es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo NBC si, y sólo si, se verifica la igualdad BMMN=(BCBN)2
Cubo formado por 1996 cubos
Sea n un número natural. Un cubo de arista n puede ser dividido en 1996 cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de n.
Grado de repulsión de una función circular
Una función f:N↦N es circular si para cada p en N existe n en N con n≤p tal que:
fn(p)=f(f(…f(p)…)))⏟nveces=p
La función f tiene grado de repulsión k, 0<k<1, si para cada p en N, fi(p)≠p para i≤[k⋅p]. Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular. Nota: [x] indica el mayor entero menor o igual que x.
... y se forma un trapecio isósceles...
La circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente a BC,CA y AB en D,E y F, respectivamente. Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a AD en su punto medio X, es decir, AX=XD. Las rectas XB y XC cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en Y y en Z, respectivamente. Demuestre que EY=FZ.
Dominio eficiente de un tablero
En un tablero de m×m casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila (--), la columna (|) y la diagonal (\), a la que pertenece. Determine el menor número de fichas que deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero. Nota: la ficha no "domina" la diagonal (/).
Perpendicular común a dos rectas en el espacio
Sean r y s dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano. Sea AB su perpendicular común, donde A pertenece a r y B a s. Se considera la esfera de diámetro AB. Los puntos M, de la recta r y N, de la recta s, son variables, con la condición de que MN sea tangente a la esfera en un punto T. Determine el lugar geométrico de T. Nota: el plano que contiene a B y r es perpendicular a s.
Condiciones extravagantes para n+1 números
Sea n un número entero mayor que 1. Determine los números reales x1,x2,…,xn≤1 y xn+1>0, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
√x1+3√x2+…+n−1√xn=n2√xn+1
x1+x2+…+xnn=xn+1
Para entender la pregunta primero tienes que responderla
Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.
