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a) Demostrar que para todas las parejas $a,b$ de números reales se cumplen las desigualdades:
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(ab+1)^2$$
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(a+b)^2$$
b) Decir, con prueba, para qué valores se cumple la igualdad en cada una de las desigualdades anteriores.

c) Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en números reales, de la ecuación $(x^2+1)(y^2+1)=(xy+1)(x+y)$

Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.

Sean $L,M,N$ puntos sobre los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$, y las cevianas $AL,BM,CN$ concurrentes en el punto P. Calcular el valor numérico de las sumas de razones siguientes:

$$\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{CN}$$

$$\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}$$

Dado el triángulo $ABC$, se consideran los puntos $D$, $E$, y $F$ sobre los segmentos $BC$, $AC$, y $AB$, respectivamente. Demostrar que si los segmentos $AD$, $BE$, y $CF$ pasan por el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, de radio $R$, entonces

$\displaystyle \frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF} = \frac{2}{R}$.