Publicaciones Recientes

Problema

Punto medio de la mediana

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 20:11.

 Sea M el punto medio de la mediana AD del triángulo ABC (D pertenece al lado BC). La recta BM corta al lado AC en el punto N. Demuestre que AB es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo NBC si, y sólo si, se verifica la igualdad BMMN=(BCBN)2

Problema

Cubo formado por 1996 cubos

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 20:09.

Sea n un número natural. Un cubo de arista n puede ser dividido en 1996 cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de n.

Problema

Grado de repulsión de una función circular

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:44.

Una función f:NN es circular si para cada p en N existe n en N con np tal que:
fn(p)=f(f(f(p))))nveces=p


La función f tiene grado de repulsión k, 0<k<1, si para cada p en N, fi(p)p para i[kp]. Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular. Nota: [x] indica el mayor entero menor o igual que x.

 

Problema

... y se forma un trapecio isósceles...

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:38.

La circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente a BC,CA y AB en D,E y F, respectivamente. Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a AD en su punto medio X, es decir, AX=XD. Las rectas XB y XC cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en Y y en Z, respectivamente. Demuestre que EY=FZ.

Problema

Dominio eficiente de un tablero

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:36.

En un tablero de m×m casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila (--), la columna (|) y la diagonal (\), a la que pertenece. Determine el menor número de fichas que deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero. Nota: la ficha no "domina" la diagonal (/).

Problema

Perpendicular común a dos rectas en el espacio

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:34.

Sean r y s dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano. Sea AB su perpendicular común, donde A pertenece a r y B a s. Se considera la esfera de diámetro AB. Los puntos M, de la recta r y N, de la recta s, son variables, con la condición de que MN sea tangente a la esfera en un punto T. Determine el lugar geométrico de T. Nota: el plano que contiene a B y r es perpendicular a s.

Problema

Condiciones extravagantes para n+1 números

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:32.

Sea n un número entero mayor que 1. Determine los números reales x1,x2,,xn1 y xn+1>0, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
x1+3x2++n1xn=n2xn+1


x1+x2++xnn=xn+1

Problema

Para entender la pregunta primero tienes que responderla

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:27.

Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.

Problema

Si le entiendes al enunciado obtienes un punto

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 13:20.

Demostrar que todo número natural n21000000 puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales x0,x1,,xk, con k<1100000, x0=1,xk=n tal que para cada i=1,2,,k, existen r,s con 0r<i,0s<i, y xi=xr+xs.

Problema

Eliges, sumas, y te vas...

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 13:18.

Sean n,r dos enteros positivos. Se desea construir r subconjuntos A1,A2,,Ar de {0,1,,n1} cada uno de ellos con exactamente k elementos y tales que, para cada entero x, 0xn1, existen x1 en A1, x2 en A2 ,... , xr en Ar (un elemento en cada conjunto) con x=x1+x2+xr. Hallar el menor valor posible de k en función de n y r.

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