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Punto medio de la mediana
Sea M el punto medio de la mediana AD del triángulo ABC (D pertenece al lado BC). La recta BM corta al lado AC en el punto N. Demuestre que AB es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo NBC si, y sólo si, se verifica la igualdad BMMN=(BCBN)2
Cubo formado por 1996 cubos
Sea n un número natural. Un cubo de arista n puede ser dividido en 1996 cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de n.
Grado de repulsión de una función circular
Una función f:N↦N es circular si para cada p en N existe n en N con n≤p tal que:
fn(p)=f(f(…f(p)…)))⏟nveces=p
La función f tiene grado de repulsión k, 0<k<1, si para cada p en N, fi(p)≠p para i≤[k⋅p]. Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular. Nota: [x] indica el mayor entero menor o igual que x.
... y se forma un trapecio isósceles...
La circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente a BC,CA y AB en D,E y F, respectivamente. Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a AD en su punto medio X, es decir, AX=XD. Las rectas XB y XC cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en Y y en Z, respectivamente. Demuestre que EY=FZ.
Dominio eficiente de un tablero
En un tablero de m×m casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila (--), la columna (|) y la diagonal (\), a la que pertenece. Determine el menor número de fichas que deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero. Nota: la ficha no "domina" la diagonal (/).
Perpendicular común a dos rectas en el espacio
Sean r y s dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano. Sea AB su perpendicular común, donde A pertenece a r y B a s. Se considera la esfera de diámetro AB. Los puntos M, de la recta r y N, de la recta s, son variables, con la condición de que MN sea tangente a la esfera en un punto T. Determine el lugar geométrico de T. Nota: el plano que contiene a B y r es perpendicular a s.
Condiciones extravagantes para n+1 números
Sea n un número entero mayor que 1. Determine los números reales x1,x2,…,xn≤1 y xn+1>0, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
√x1+3√x2+…+n−1√xn=n2√xn+1
x1+x2+…+xnn=xn+1
Para entender la pregunta primero tienes que responderla
Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.
Si le entiendes al enunciado obtienes un punto
Demostrar que todo número natural n≤21000000 puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales x0,x1,…,xk, con k<1100000, x0=1,xk=n tal que para cada i=1,2,…,k, existen r,s con 0≤r<i,0≤s<i, y xi=xr+xs.
Eliges, sumas, y te vas...
Sean n,r dos enteros positivos. Se desea construir r subconjuntos A1,A2,…,Ar de {0,1,…,n−1} cada uno de ellos con exactamente k elementos y tales que, para cada entero x, 0≤x≤n−1, existen x1 en A1, x2 en A2 ,... , xr en Ar (un elemento en cada conjunto) con x=x1+x2⋯+xr. Hallar el menor valor posible de k en función de n y r.