Intermedio

Considere las circunferencias $a$ y $b$ de centros $A$ y $B$ respectivamente. Desde el centro $A$ se trazan las tangentes a $b$ y éstas cortan a $a$ en los puntos $P$ y $Q$. Desde el centro $B$ se trazan las tangentes a $a$ que cortan a $b$ en $R$ y $S$. Demostrar que $PQRS$ es un rectángulo.
 

Encontrar todos los números de 3 dígitos de la forma $abc$ ($a$ es el dígito de las centenas, $b$ es el dígito de las decenas y $c$ es el dígito de las unidades) que cumplan con: $abc = a!+b!+c!.$ (Nota: n! es el producto n(n-1)...(2)(1) y se lee $n$ factorial.)
 

En un tablero de 2009 x 2009 cuadritos, se han llenado todos los cuadritos usando solamente 1 o -1, y se ha obtenido el producto de los números de cada fila y de cada columna. Encontrar todas las posibles sumas de estos 4018 productos.
Ejemplo: en un tablero de 3x3 un posible llenado es:
1 1 1
1 1 -1
1 1 1
y la suma de los 6 productos 1 + 1 -1 +1 -1 +1 = 2
 

¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 números diferentes del conjunto $C=\{1,2,3,...,19,20\}$ de manera que la suma de esos tres números sea múltiplo de 3?

En el rectángulo $ABCD$, los puntos $P, Q, R, S$, uno en cada lado, dividen el lado donde están en razón 3:2. ¿Cuál es el cociente del área del paralelogramo $PQRS$ entre el área de la región del rectángulo que queda afuera del paralelogramo? (N del E: en el examen se dio la figura.)

En el Messenger (MSN), para que dos personas estén en contacto, es suficiente con que una de ellas envíe una invitacíon a la otra y ésta la acepte. Luis tiene 114 amigos de la ONMAS 2009, y ninguno de ellos se tiene agregado al Messenger entre sí. Luis les propone a ellos la idea de ponerse en contacto. ¿Cuál es el número mínimo de invitaciones aceptadas para que Luis y todos sus amigos estén en contacto por el MSN?

Sean $ABCD$ un paralelogramo, y $P, Q, R, S$ puntos exteriores a él. $M_1$ y $M_2$ son puntos medios de $PA$ y $AQ$, respectivamente, y $G_1$ la intersección de $QM_1$ y $PM_2$. ($G_1$ es el gravicentro del triángulo $PAQ$). De la misma manera se localizan los puntos $G_2, G_3, G_4$ en los triángulos $QRB, RSC$ y $SPD$, respectivamente. Demuestre que $G_1G_2G_3G_4$ es un paralelogramo.

Se tiene una balanza de dos platillos y un número $n$ de piezas de idéntica apariencia, pero una de ellas tiene un peso mayor al de las demás. ¿Cuál debe ser el valor máximo de $n$ para encontrar la pieza de peso diferente en a lo más cuatro pesadas?

Juan tiene la lista de todos los números de 8 dígitos que se pueden formar con cuatro 1’s y cuatro 2’s. José tiene la lista de todos los números de cuatro dígitos que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4 y que tengan la misma cantidad de 1’s que de 2’s. Por ejemplo: 1234, 3343, 1122, etc. ¿Quién tiene más números en su lista?