Intermedio

Resolver las siguientes ecuaciones funcionales.

1. Encontrar $p(x)$ de tal manera que $p(x+1)=p(x)+2x+1$.
2. Encontrar $f(x)$ de tal manera que $f(x+1)=x^2-3x+2$.
3. Lo mismo para $$f(\frac{x+1}{x})=(\frac{x^2+1}{x^2})+1/x$$
4. $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$.
5. Para $x>0$, $f(xy)=xf(y)+yf(x)$.
6. $f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$.

Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas.

x+y+z=2

x^2+y^2+z^2=14

xyz=-6

Considere un triángulo rectángulo con longitudes a, b y c, la hipotenusa es de longitud c, sea r la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demuestre que r es igual a la mitad de a+b-c.