Intermedio
Demostrar cuadrado
Sea ABCD un cuadrilatero tal que los angulos internos en los vertices A, B, y C son de cuarenta y cinco grados. Demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilatero determinan un cuadrado.
Propuesto por: Fernando
Media armónica de las bases de un trapecio.
Considere $\mu$ un segmento paralelo a las bases $a$ y $b$ de un trapecio, de tal manera que $\mu$ pasa por el punto de intersección de las diagonales y sus extremos están sobre los lados del trapecio. Demostrar que $\mu$ es la media armónica de $a$ y $b$, es decir:
No es un cuadrado perfecto
Demostrar que si $y$ es un entero, $187y-1$ no es un cuadrado perfecto.
División anular
Sean $a, b, c$ tres números enteros positivos tales que $a$ divide a $b^2$, $b$ divide a $c^2$ y $c$ divide a $a^2$. Demostrar que $abc$ divide a $a^7+b^7+c^7$.
Una factorización notable
Encontrar todos los enteros $ n $ tales que $n^4+4$ es primo.
Cíclico en tres circunferencias tangentes
Considere $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ tres circunferencia que por pares son tangentes externas. Llamemos $P$ y $Q$ los puntos de tangencia de $\mathcal{C}_1$ con $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ respectivamente.
Sumas
Considere las sumas
$$S=4\cdot 5-5\cdot 6 +\ldots - 2009\cdot 2010$$
$$T=3\cdot 6-4\cdot 7+\ldots -2008\cdot 2011$$
Calcular el valor de $S-T$
Encontrar las soluciones de la igualdad
Encuentre todos los números primos $ p, q $ tales que $ p + q $ = $(p-q)^3$.
Equiláteros en los lados de un triángulo
Este es un problema con la misma figura del triángulo de napoleón.
Consideremos los puntos $A'$, $B'$ y $C'$ puntos fuera del triángulos $ ABC $ de tal manera que los triángulos $ A'BC $, $ AB'C $ y $ ABC' $ son equiláteros. Demuestra que $AA'$, $BB'$ y $CC'$ concurren y son de la misma longitud.
Una caracterización de los libres de cuadrados
Considera un entero $n > 1$. Demuestra que existen enteros $a,b \geq 1$ tales que $a+b=n$ y $n | ab$ si y sólo si $ n $ no es libre de cuadrados.