Intermedio
División anular
Sean a,b,c tres números enteros positivos tales que a divide a b2, b divide a c2 y c divide a a2. Demostrar que abc divide a a7+b7+c7.
Una factorización notable
Encontrar todos los enteros n tales que n4+4 es primo.
Cíclico en tres circunferencias tangentes
Considere C1, C2 y C3 tres circunferencia que por pares son tangentes externas. Llamemos P y Q los puntos de tangencia de C1 con C2 y C3 respectivamente.
Sumas
Considere las sumas
S=4⋅5−5⋅6+…−2009⋅2010
T=3⋅6−4⋅7+…−2008⋅2011
Calcular el valor de S−T
Encontrar las soluciones de la igualdad
Encuentre todos los números primos p,q tales que p+q = (p−q)3.
Equiláteros en los lados de un triángulo
Este es un problema con la misma figura del triángulo de napoleón.
Consideremos los puntos A′, B′ y C′ puntos fuera del triángulos ABC de tal manera que los triángulos A′BC, AB′C y ABC′ son equiláteros. Demuestra que AA′, BB′ y CC′ concurren y son de la misma longitud.
Una caracterización de los libres de cuadrados
Considera un entero n>1. Demuestra que existen enteros a,b≥1 tales que a+b=n y n|ab si y sólo si n no es libre de cuadrados.
Implicatura engañosa (y, sin embargo, clásica en concursos...)
En el pizarrón está la lista de los números enteros positivos divisores de 3019. Si borramos los divisores de 2011 ¿cuántos números quedan?
División de polinomios (una instancia de uso teórica)
Al dividir un polinomio P(x) entre x−5 el residuo es 2, y al dividirlo entre x−2 el residuo es 5. ¿Cuál es el residuo al dividirlo entre x2−7x+10?
Un reparto equitativo complicado
Sea p un número primo.
