Intermedio

¿Para qué valores de $n$ (entero positivo),  los números $n^2+1$ y $(n+1)^2+1$ no son primos relativos?

a) Calcular el Máximo Común Divisor (MCD) de $4a^2+1$ y $2a-1$, donde $a$ es un entero positivo cualquiera.

b) Calcular el residuo de $2009^{2008}$ al dividir entre 9.

El chico fresa tenía 10 pares de zapatos tenis dedicados (para ir al Mall los fines de semana). Se entiende que de marca (Adidas Dragon, Converse, Fila, K-Swiss, Mizuno, New Balance, Nike Executor, Puma Fluxion, Reebok, Vans). En la mudanza de su familia se le perdieron 6 zapatos.

Del conjunto $A=\{1,2,\ldots,2n\}$ se eligen elementos y se forma un subconjunto $S$ de $A$. Si resulta que ninguno de los elementos de $S$ tiene múltiplos en $S$ ¿cuál es el máximo número de elementos de $S$?

¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño 3 y sin elementos consecutivos del conjunto $\{1,2,\ldots,20\}$?

Demostrar que no existen $a$ y $b$ >2, enteros positivos, para los cuales: $2^b-1$ divide $2^a+1$

Ximena y Yadira participan en un maratón: el recorrido es del punto $A$ al $B$ y de regreso de $B$ a $A$. La distancia entre $A$ y $B$ es de $p^2qr$ km, con $p,q,r$ primos en orden creciente.

Las diagonales de un cuadrilátero circunscrito pasan por el punto de intersección de las cuerdas (que unen los puntos de tangencia en lados opuestos).

Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito (a una circunferencia, i.e., sus 4 lados son tangentes a la circunferencia), y $E,F,G,H$ los puntos de tangencia en los lados $AB, BC, CD, DA,$ respectivamente. Considere la intersección $R$ de una diagonal y una cuerda que une dos puntos opuestos de tangencia, digamos $BD$ y $EG$.

Un trapecio $ABCD$, con $AB$ paralela a $CD$, está circunscrito a una circunferencia (los 4 lados del trapecio son tangentes a la circunferencia) con centro $O.$ Sean $M, N, P, Q$ los puntos de tangencia de la circunferencia con los lados $AB, BC, CD, DA,$ respectivamente. Demuestra que $AQ\cdot QD = BN\cdot NC.$