Regiones Tamaulipas

Un trapecio $ABCD$, con $AB$ paralela a $CD$, está circunscrito a una circunferencia (los 4 lados del trapecio son tangentes a la circunferencia) con centro $O.$ Sean $M, N, P, Q$ los puntos de tangencia de la circunferencia con los lados $AB, BC, CD, DA,$ respectivamente. Demuestra que $AQ\cdot QD = BN\cdot NC.$

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$. La circunferencia con diámetro $AB$ corta a $BC$ en $D$, y la circunferencia que pasa por $A, D,$ y el punto medio $O$ de $AB,$ corta a $CA$ en $P$ y corta nuevamente a $BC$ en $Q$. Demuestra que $PQOA$ es un rectángulo.

Dominguito Siete se reune cada domingo con sus amigos y lleva tazos de Pokemon. Cuando el número de tazos es múltiplo de 7, los reparte a partes iguales entre  sus 6 amigos y él.

¿De cuántas formas se pueden colocar los números $0,1,2,3,4,5,6$, uno en cada casilla del siguiente panal, sin que haya 2 múltiplos de 3 en casillas adyacentes (i.e., con un lado en común)?
 

¿Cuántos números $abcd$ de 4 dígitos distintos, múltiplos de 36 y menores que 4000 son tales que el producto de $ab$ por $cd$ es múltiplo de 7?