¿De cuántas formas se pueden colocar los números $0,1,2,3,4,5,6$, uno en cada casilla del siguiente panal, sin que haya 2 múltiplos de 3 en casillas adyacentes (i.e., con un lado en común)?
Sugerencia
Sugerencia:
¿Cuáles puedes colocar en el centro?
Solución
Solución:
Los múltiplos de 3 son $0,3,6$. Si alguno de ellos estuviese en el centro, obligatoriamente los otros dos estarían en una casilla adyacente. Por tanto, en el centro no puede haber un múltiplo de 3. Nos quedan 4 que podemos colocar en el centro (4 formas de colocar uno de los números en el centro).
Si numeramos las casillas no en el centro con los números $1,2,3,4,5,6$ en el sentido del reloj, los múltiplos de 3 los podemos colocar en las casillas $1,3,5$ o bien en las etiquetadas $2,4,6$. Y, en cada uno de esos casos, hay $3!$ formas de colocarlos ($2\cdot{6}$ formas de colocar los múltiplos de 3).
En resumen, hay $4\cdot{2}\cdot{6}\cdot{6}=288$ formas de colocar los 6 números como se pide.
