Sea ABC un triángulo rectángulo en A. La circunferencia con diámetro AB corta a BC en D, y la circunferencia que pasa por A,D, y el punto medio O de AB, corta a CA en P y corta nuevamente a BC en Q. Demuestra que PQOA es un rectángulo.
El problema es engañoso porque da la impresión de ser más fácil de lo que realmente es. Por ejemplo, una pista falsa es la del punto medio: el cognizador gastará un tiempo precioso buscando probar paralelismo con línea media. Tampoco sirve buscar algo con la cuerda común y la línea de centros.
Una estrategia elemental que si funciona es la de probar que AQ también es diámetro, con base en la mediana a la hipotenusa común de los triángulos rectángulos OAP y OQP.
Ayuda:
Por dato, el ángulo en A es recto, y concluimos que PO es diámetro. Para probar que AQ es diámetro tenemos que probar que AQ pasa por el centro (denotémoslo con R). Para ello se trazan las medianas AR y QR a la hipotenusa común OP. Una vez hecho eso se emprende una cacería de ángulos con la idea de llegar a que en R los ángulos son suplementarios.
El cognizador haría bien en dibujar la mediana QR deliberadamente chueca (no alineada con la otra) para que no lo engañe la figura y suponga lo que tiene que demostrar (que AQ pasa por R). Una vez demostrado que AQ es diámetro el resultado se sigue.
Haz por venir... a MaTeTaM (Todos fueron convocados, pocos serán elegidos...)
Ejercicio: usar medianas a la
Ejercicio: usar medianas a la hipotenusa
El problema es engañoso porque da la impresión de ser más fácil de lo que realmente es. Por ejemplo, una pista falsa es la del punto medio: el cognizador gastará un tiempo precioso buscando probar paralelismo con línea media. Tampoco sirve buscar algo con la cuerda común y la línea de centros.
Una estrategia elemental que si funciona es la de probar que AQ también es diámetro, con base en la mediana a la hipotenusa común de los triángulos rectángulos OAP y OQP.
Ayuda:
Por dato, el ángulo en A es recto, y concluimos que PO es diámetro. Para probar que AQ es diámetro tenemos que probar que AQ pasa por el centro (denotémoslo con R). Para ello se trazan las medianas AR y QR a la hipotenusa común OP. Una vez hecho eso se emprende una cacería de ángulos con la idea de llegar a que en R los ángulos son suplementarios.
El cognizador haría bien en dibujar la mediana QR deliberadamente chueca (no alineada con la otra) para que no lo engañe la figura y suponga lo que tiene que demostrar (que AQ pasa por R). Una vez demostrado que AQ es diámetro el resultado se sigue.
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Los saluda