Intermedio

En cada cuadrado de un tablero rectangular hay un entero positivo. Se pueden modificar los números del tablero usando alguno de los siguientes movimientos.

--Multiplicar por 2 cada número de un renglón.
--Restar 1 a cada número de una columna.

Considera la sucesión $\{1,3,13,31,\ldots\}$ que se obtiene al seguir en diagonal el siguiente arreglo de números en espiral.

Encuentra el número en la posición 100 de esa sucesión.

Demuestra que no existen enteros positivos $x,y$ tales que $x^{2008}+2008!=21^y$

Halla todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.

En un triángulo isósceles AOB, rectángulo en O, se eligen los puntos P,Q,S en los lados OB,OA,AB, respectivamente, y un punto R interior al triángulo, de tal manera que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado. Si la razón de áreas entre el cuadrado y el triángulo es 2/5, calcular la razón OP/OQ.

Si $p$ es un primo impar y $a$ es primo con $p$, entonces $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod{p}$. (Por ejemplo, todo cuadrado perfecto primo con 5 termina en 1 o en 9 o en 4 o en 6.)
 

Encontrar todas las parejas $(x,y)$ de dígitos, tales que el número $2x1y9$ sea múltiplo de 101.

Encontrar todos los números enteros positivos de cuatro cifras de la forma $n=abab$ (la primera y la tercera cifras son iguales, así como la segunda y la cuarta) y tales que el producto de sus cifras divide a $n^2$.

Sea $n\geq2$ un entero. Los números $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son elementos del conjunto $\{-1,1\}$ y cumplen la ecuación $x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_nx_1=0$. Demostrar que $ n $ es múltiplo de 4.

Los adolescentes de una preselección olímpica de matemáticas tienen una actividad de entretenimiento favorita: 17 son adictos al Xbox (conjunto A1), 13 a las series americanas de TV (A2), 8 a la resolución de problemas de concurso (A3), y 6 no tienen actividad recreativa conocida.