Intermedio

Sean P un punto en el interior del triángulo ABC y un ángulo $\alpha$ dado. Los ángulos en la base AB del triángulo ABP miden $x$ y $90-2\alpha$, los ángulos en la base BC del triángulo BCP miden $90-2\alpha$ y $2\alpha-60$, y los de la base CA del triángulo CAP miden $60+\alpha$ y T. Encontrar el valor de $x$ en términos de $\alpha$. (¿Qué condiciones debe cumplir el valor $\alpha$.)

El profesor Distraído ha llevado un registro de su conducta distraída: tres de cada diez días olvida poner el despertador; también ha registrado que en 2 de cada 10 días en que olvida ponerlo, de cualquier manera llega a tiempo a impartir su clase de probabilidad; finalmente en uno de cada 10 días en que lo pone, de cualquier manera no se levanta a tiempo y llega tarde a impartir su cátedra.

a) Consideremos el experimento aleatorio de elegir un día en la vida del profesor Distraído. Identifica y nombra los eventos relevantes en el enunciado.
b) Escribe los datos en términos de probabilidades de esos eventos.

Resolver el sistema de ecuaciones $x^2+y^2+x+y=6, ~xy+x+y=-1$. (Es decir, encontrar los valores de $x,y$ que cumplen ambas ecuaciones.)

Sea $ K $ un entero positivo de $ n $ cifras y $ S $ la suma de todas las cifras de $ K $. Demuestra que $ K $ menos $ S $ es múltiplo de 9 para todo $ n $, con $ n $ mayor o igual a 2.

En un equipo de trabajo de 20 desarrolladores de software educativo, la producción es de 30 unidades didácticas al año por cada integrante. Un estudio ha estimado que el rendimiento de cada miembro disminuiría en 1 unidad cada vez que se añadiera un nuevo miembro al equipo.

Varios escuelantes se sientan formando un círculo de manera que cada uno tiene dos vecinos,  y quedan en un orden tal que el primero tiene un dollar más que el segundo y éste tiene un dollar más que el tercero, etc.

La suma de tres números $a,b,c $ es 3, la suma de sus cuadrados es 11 y la suma de sus cubos es 27. Encontrar la suma de sus potencias cuartas.

Demostrar que para $a,b,c$ reales no nulos tales que $a+b+c=0$ se cumple la identidad

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\cdot \frac{a^7+b^7+c^7}{7} = \Big( \frac{a^5+b^5+c^5}{5} \Big) ^2=$$

Sean $a,b,c$ números reales distintos de cero y tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Demostrar que $a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}$

a) Demostrar la identidad algebraica $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

b) Demostrar la identidad $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

c) Usar el resultados del inciso anterior para demostrar que si $a,b,c$ son reales positivos entonces se cumple la desigualdad  $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0$