Intermedio

Un jugador coloca una ficha en una casilla de un tablero $m\timesn$ dividido en cuadrados de tamaño $1\times1$. El jugador mueve la ficha de acuerdo a las siguientes reglas:

• En cada movida, el jugador mueve la ficha a un cuadrado que comparte un lado  con el cuadrado en que se encuentra.
• El jugador no puede mover la ficha a un cuadrado que ha ocupado previamente.
• Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma dirección.

El juego termina cuando el jugador no puede mover la ficha. Determine todos los valores de $m$ y $ n $ tales que, al colocar la ficha en algún cuadrado, todos los cuadrados pueden ser ocupados durante el juego.

 

En el triángulo $ABC$, $L,M,N$ son los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. La tangente por $A$  al circuncírculo de $ABC$, corta en $P$ y $Q$ a las rectas $LM$ y $LN$, respectivamente. Demostrar que $CP$ es paralela a $BQ$.

Si $S(n)$ denota la suma de los dígitos de un número natural n, encontrar todas las soluciones de $n(S(n)-1)=2010$ y demostrar que son las únicas.

Sea dada una sucesión finita $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ de números reales positivos. Demostrar que la sucesión es geométrica si y sólo si se cumple la ecuación
$$(a_0^2+a_1^2+\ldots+a_{n-1}^2)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)=(a_0a_1+a_1a_2+\ldots+a_{n-1}a_n)^2$$

Considere dos circunferencias de radios $r$ y $R$, y centros $B$ y $C$, respectivamente. Demostrar que si $A$ es un punto sobre una tangente externa común a las dos circunferencias, y es equidistante a los centros de éstas, entonces la distancia de $A$ a la otra tangente externa común es $r+R$.

Sean $L,M,N$ puntos sobre los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$, y las cevianas $AL,BM,CN$ concurrentes en el punto P. Calcular el valor numérico de las sumas de razones siguientes:

$$\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{CN}$$

$$\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}$$

Encontrar todos los primos $p,q$ que cumplen la ecuación $p+q^2=q+145p^2$

Encontrar todos los primos $p$ tales que $5^p+4p^4$ es cuadrado perfecto.

Un punto $P$ en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ es tal que $PC=3, PA=4, PB=5$. Calcular el perímetro del triángulo $ABC$.

El número $10^{10}+10^{10^2}+\ldots+10^{10^{10}}$ se divide entre 7. ¿Cuál es el residuo?