Intermedio

Encontrar (si existen) los puntos en que la función $f(x)=ax^2+bx+c$ (con $a$ no nulo --de otra manera la función es lineal) obtiene su máximo y su mínimo.

Resolver (en números enteros positivos) el siguiente sistema de ecuaciones

$a^3-b^3-c^3=3abc$

$a^2=2(b+c)$

Inscribir un triángulo equilátero en un triángulo equilátero $ ABC $, de tal manera que cada lado del inscrito sea perpendicular a un lado del triángulo $ ABC $. (Describir el procedimiento de construcción.)

Sean $D$ en $AB$ y $E$ en $AC$, los extremos de un segmento tangente al incírculo del triángulo $ ABC $. Si los lados $AB, BC, CA$ miden, respectivamente, $c, a, b$, expresar el perímetro del triángulo ADE en términos de $a, b, c$.

Sean n un entero positivo, demostrar que si $$2^n-1$$ es un número primo, entoces $n$ también es primo.

Sea ABC un triangulo equilátero y R el radio de la circunferencia que lo circunscribe, demuestre que el area del triangulo es igual a: $$ 3R^2\sqrt{3}/4 $$

Calcular el área y el perímetro de un triángulo si se sabe que las longitudes de sus lados satisfacen la ecuación $ x^3-12x^2+47x=60$

Si en un triángulo $ ABC $ se construyen triángulos equiláteros interiores sobre sus lados, entonces los centros $X, Y, Z$ de dichos triángulos equiláteros determinan un triángulo equilátero $ XYZ $, conocido como triángulo de Napoleón interior. (Demostrarlo.)

Si en un triángulo $ ABC $ se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, entonces los centros $X, Y, Z$ de dichos triángulos equiláteros determinan un triángulo equilátero $ XYZ $, conocido como triángulo de Napoleón exterior. (Demostrarlo.)