Intermedio
Método "Busca donde hay luz"
Encontrar todas las tripletas de enteros (a,b,c) tales que el producto de dos de ellos más el tercero sea la unidad (o sea el 1).
Ecuaciones funcionales
Resolver las siguientes ecuaciones funcionales.
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Encontrar $p(x)$ de tal manera que $p(x+1)=p(x)+2x+1$.
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Encontrar $f(x)$ de tal manera que $f(x+1)=x^2-3x+2$.
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Lo mismo para $$ f(\frac{x+1}{x})=(\frac{x^2+1}{x^2})+1/x $$
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$f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$.
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Para $x>0$, $f(xy)=xf(y)+yf(x)$.
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$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$.
Fórmulas de Vieta
Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas.
Triángulo rectángulo -enunciado
Considere un triángulo rectángulo con longitudes a, b y c, la hipotenusa es de longitud c, sea r la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demuestre que r es igual a la mitad de a+b-c.
USAMTS (Problema 5)
Sea c un número real. La sucesión $a_1,a_2, a_3,\dots$ está definida por $a_1=c$ y $a_n = 2a_{n-1}^2 -1$ , para todo $n \geq 2$ . Encontrar todos los valores de para los cuales $a_n <0$ para toda n.
Retroducción en un problema de números
Al estudiante A se le da a conocer un número a y la información de que a es el producto xy de dos enteros positivos. Al estudiante B se le da a conocer un número b y la información de que es la suma x+y de los mismos números cuyo producto es el número dado a A. Además, a ambos se les hace saber que x, y son números enteros mayores que 1 y su suma es menor que 100. Después de que los estudiantes obtienen esta información (y después de haberla meditado un rato) tiene lugar el siguiente diálogo:
