Intermedio
Múltiplos de un primo escritos con puros unos
Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de p de la forma 1111...1 (escrito sólo con unos).
Desigualdad con inradio y circunradio
Justificar razonadamente que, en cualquier triángulo, el diámetro de la circunferencia inscrita no es mayor que el radio de la circunferencia circunscrita.
Pichoneras de nacionalidad, edad y sexo
En una reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo país, de la misma edad y del mismo sexo.
Para entender la pregunta primero tienes que responderla
Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.
Ejercicio trigonométrico
Sea ABC un triángulo equilátero y Γ su círculo inscrito. Si D y E son puntos de los lados AB y AC, respectivamente, tales que DE es tangente a Γ, demuestre que ADDB+AEEC=1
¿Cómo se encierra un n-polígono en un paralelogramo?
Muestre que, para cualquier polígono convexo de área uno, existe un paralelogramo de área 2 que lo contiene.
Primos que son diferencia de capicúas consecutivos
Un número natural es capicúa si al escribirlo en notación decimal se puede leer de igual forma de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Ejemplos: 8, 23432, 6446. Sean x1<x2<…<xi<xi+1<... todos los números capicúas. Para cada i sea yi=xi+1−xi. ¿Cuántos números primos distintos tiene el conjunto {y1,y2,y3…}?
¿Sabes geometría analítica? (alternativa: Stewart)
En un triángulo equilátero ABC, cuyo lado tiene longitud 2, se inscribe la circunferencia Γ.
- a) Demostrar que para todo punto P de Γ, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices A,B y C es 5.
- b) Demostrar que para todo punto P de Γ, es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos AP,BP y CP, y cuya área es √3/4
Criterio de potencia para cíclico
En un triángulo ABC, sean I el centro de la circunferencia inscrita y D,E y F sus puntos de tangencia con los lados BC,AC y AB, respectivamente. Sea P el otro punto de intersección de la recta AD con la circunferencia inscrita. Si M es el punto medio de EF, demostrar que los cuatro puntos P,I,M y D pertenecen a una misma circunferencia.
Lados y alturas en progresión aritmética, equilátero
Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética. Demuestre que el triángulo es equilátero.
