Problemas - Teoría de números
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema4
Francisco olvidó la clave de su tarjeta de banco y quiere realizar un retiro. Apenas recuerda que su clave contiene 4 dígitos y cumplen lo siguiente
- ninguno de los dígitos es 0 ni es mayor que 5
- no hay dígitos repetidos
- no hay dos dígitos adyacentes que sean números consecutivos
- la clave es un múltiplo de 4
Por ejemplo, el código 5413 no cumple porque el 4 y el 5 son cifras consecutivas, y el código 1135 no cumple porque se repite el 1. Francisco, que tiene muy mala suerte, probó todos los casos posibles y funcionó hasta que probó la última posibilidad. ¿Cuántos casos probó Francisco?
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 3
Juan tiene que llevar una ficha desde la esquina A hasta la esquina B, moviéndola por las líneas de la cuadrícula del tablero. La ficha puede moverse hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda (la ficha puede pasar varias veces por el mismo punto). Cada vez que la ficha se mueve en sentido horizontal, Juan anota el número de la columna por la que atraviesa. Cuando la ficha finalmente llega a la esquina B, Juan multiplica todos los números que anotó. Encuentra todos los caminos donde el producto de los números anotados por Juan es 8640. Justifica tu respuesta.
P4 OMM 2006. Zacatecas 2006: n-cubrimiento de una n-escalera
Como se sabe, en problemas de olimpiada, el enunciado puede tener una trampa de significado. El problema 4 del XX concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas consiste de una pregunta “para qué enteros…”. La mayoría de los concursantes respondieron a la pregunta. Pero a la hora de las revisiones se supo que no bastaba con decir “estos son” sino que había que demostrar que no había otros. La solución necesitaba estar en el formato “los enteros n cumplen la condición si, y sólo si, son de la forma n = f(k)”. He aquí el enunciado del problema 4 del concurso nacional de 2006.
Un teorema sobre primos
Para todo primo $ p $, si $p^2 + 2$ es primo entonces $p^3 + 2$ es también primo.
Ternas Pitagóricas
Demuestre que para cualquier terna pitagórica $a^2+b^2=c^2$, alguno de los números $a, b, c$ es divisible por tres.
Sucesión Aritmética y prueba de coprimalidad
Si ninguno de los números $b,2b,...,(m-1)b$ es divisible entre $m$, entonces $m$ y $b$ son coprimos.
Un problema interesante de exponentes
Problema. Encontrar todos los enteros positivos $a,b$ tales que $a^b=b^a$
Monterrey 97
Como se sabe, uno de los 6 problemas del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es trivial –por lo menos para quienes han tenido un buen entrenamiento. He aquí el enunciado del primer problema del concurso nacional de 1997.
Encuentra todos los números primos positivos p tales que también sea un primo positivo.
XX Avanzados
Encuentra todas las parejas de números $(a,b)$ tales que $a-b$ es un número primo y el producto $ ab$ es un cuadrado perfecto.