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Un ejercicio algebraico con polinomios simétricos
Sean $x,y,z$ números reales positivos y $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$, $\sigma_3=xyz$, los polinomios simétricos elementales para tres variables. Demostrar que $1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1$ si y sólo si $\sigma_3=\sigma_1+2$. (En otras palabras, las ecuaciones $1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1$ y $xyz=x+y+z+2$ pueden ser transformadas una en la otra mediante operaciones algebraicas.)
Programa de entrenamientos, OMM Tamaulipas 2010
Ramón J Llanos, delegado Tamaulipas de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, me envió el siguiente programa de entrenamientos para que le diera difusión en MaTeTaM:
Entrena con Nueva Zelanda
El sitio web de la Olimpiada de matemáticas de Nueva Zelanda ofrece problemas mensuales orientados a la preparación olímpica de sus estudiantes. Traduzco el paper de mayo de problemas propuestos (lo pueden consultar en inglés en http://www.nzamt.org.nz/nzimo/wp-content/uploads/2010/05/2010problems-ma...)
Un producto de Cauchy
Sea dada una sucesión finita $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ de números reales positivos. Demostrar que la sucesión es geométrica si y sólo si se cumple la ecuación
$$(a_0^2+a_1^2+\ldots+a_{n-1}^2)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)=(a_0a_1+a_1a_2+\ldots+a_{n-1}a_n)^2$$
Trapecio isósceles
Sea dado un trapecio isósceles ABCD. Demostrar:
Si la altura y la línea media (unión de los puntos medios de sus lados) son congruentes entonces sus diagonales son perpendiculares.
Decir también si la recíproca se cumple (con prueba o contraejemplo).
Si tienes la teoría, la práctica es más eficaz
El problema 1 del concurso estatal
Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001
pone en juego uno de los conocimientos más elementales de las matemáticas escolares: el significado de "múltiplo" y el algoritmo de la división. No se necesita más para resolverlo.
El método directo es emprender la división entre 1001. Pero son muchas cifras... tantas que no caben todas en la hoja de papel. ¿Entonces? Bueno, lo que está obligado a hacer el cognizador es a idear una estrategia alternativa.
Preselección Tamaulipas para la XXIV OMM
Preselección estatal, Tamaulipas 2010, XXIV OMM
Distancia a la otra tangente común
Considere dos circunferencias de radios $r$ y $R$, y centros $B$ y $C$, respectivamente. Demostrar que si $A$ es un punto sobre una tangente externa común a las dos circunferencias, y es equidistante a los centros de éstas, entonces la distancia de $A$ a la otra tangente externa común es $r+R$.
Dos desigualdades y una ecuación
a) Demostrar que para todas las parejas $a,b$ de números reales se cumplen las desigualdades:
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(ab+1)^2$$
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(a+b)^2$$
b) Decir, con prueba, para qué valores se cumple la igualdad en cada una de las desigualdades anteriores.
c) Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en números reales, de la ecuación $(x^2+1)(y^2+1)=(xy+1)(x+y)$
No podrían saludar sólo a uno
Cada uno de los 61 competidores en el concurso estatal saludó de mano al menos a otro competidor. Demostrar que alguno de ellos saludó de mano al menos a dos competidores.
