Publicaciones Recientes

Problema

Uno de "si y sólo si" con escaleno

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:44.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD = BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD = AC$ si y sólo si $\angle{BAC} = 2\angle{ABM}.$

Problema

Cambios de estado en cuadrícula 6X6 --con luciérnagas

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:38.

En cada cuadrado de una cuadrícula de $6\times6$ hay una luciérnaga apagada o encendida. Una movida es escoger tres cuadrados consecutivos, ya sean los tres verticales o los tres horizontales, y cambiar de estado a las tres luciérnagas que se encuentran en dichos cuadrados. (Cambiar de estado a una luciérnaga significa que si está apagada se enciende y si está encendida se apaga.) Muestra que si inicialmente hay una luciérnaga encendida y las demás apagadas, entonces no es posible hacer una serie de movidas tales que al final todas las luciérnagas estén apagadas.

Problema

Composición de la función "suma de sus dígitos"

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:29.

Para un entero positivo $ n $ se definen $n_1$ como la suma de los dígitos de $ n $, $n_2$ como la suma de los dígitos de $n_1$, y $n_3$ como la suma de los dígitos de $n_2$.

Por ejemplo para $n = 199$, $n_1 = 199_1 = 19, n_2 = 199_2 = 10$ y $n_3 = 199_3 = 1$.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m, n)$ tales que:$$m + n = 2007$$ $$m_3 + n_3 = 2007_3$$

Problema

Desigualdad homogenea

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:20.

Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a+b+c = 1$.
Muestra que: $$\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab}\leq 2.$$

Problema

Lugar geométrico equiangular

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:14.

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle{APB} = \angle{BPC}$.

Problema

Diez consecutivos son divisores --pero no 11

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:09.

Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$, hay 10 números consecutivos, pero no 11.

Problema

La arista es el MCD de sus vértices

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:50.

En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.

  • (a) Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$.
  • (b) ¿Es posible que $A = V$?
Problema

Juego de caballeros

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:40.

Los caballeros $C_1,C_2,\ldots,C_n$, del Rey Arturo, se sientan en una mesa
redonda de la siguiente manera:



El rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros. Iniciando con $C_1$, y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, los caballeros irán diciendo los números 1, 2, 3, luego 1, 2, 3, y así sucesivamente (cada caballero dice un número). Cada caballero que diga 2 ó 3 se levanta inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un solo caballero: el ganador.

Problema

Caballos en el tablero

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:25.

Considera un tablero de ajedrez. Los números del 1 al 64 se escriben en las casillas del tablero como en la figura:

  1       2       3        4       5        6       7       8
  9     10     11     12     13     14     15     16
17     18     19     20     21     22     23     24

Problema

Expresado como suma de potencias --de sus primeros dos divisores

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:12.

Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.

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