Publicaciones Recientes
Triangulación de un polígono
Un polígono convexo de $n$ lados se descompone en $m$ triángulos, con sus interiores disjuntos, de modo que cada lado de esos $m$ triángulos lo es también de otro triángulo contiguo o del polígono dado. Probar que $m + n$ es par. Conocidos $n$ y $m$ hallar el número de lados distintos que quedan en el interior del polígono y el número de vértices distintos que quedan en ese interior.
Combinatoria en un tablero $3\times7$
Con 21 fichas de damas, unas blancas y otras negras, se forma un rectángulo de $3\times7$. Demostrar que siempre hay cuatro fichas del mismo color situadas en los vértices de un rectángulo.
Estadísticas trucadas
Una oficina de Turismo va a realizar una encuesta sobre el número de días soleados y el número de días lluviosos que se dan en el año. Para ello recurre a seis regiones que le transmiten los datos de la siguiente tabla:
Sección áurea en un isósceles
El ángulo $A$ del triángulo isósceles $ABC$ mide 2/5 de recto, siendo iguales sus ángulos $B$ y $C$. La bisectriz de su ángulo $C$ corta al lado opuesto en el punto $D$. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo $BCD$. Expresar la medida $a$ del lado $BC$ en función de la medida $b$ del lado $AC$, sin que en la expresión aparezcan razones trigonométricas
Un triedro trirrectángulo
Sea $OXYZ$ un triedro trirrectángulo de vértice $O$ y aristas $X, Y, Z$. Sobre la arista $Z$ se toma un punto fijo $C$, tal que $OC = c$. Sobre $X$ y $Y$ se toman respectivamente dos puntos variables $P$ y $Q$ de modo que la suma $OP + OQ$ sea una constante dada $k$. Para cada par de puntos $P$ y $Q$, los cuatro puntos $O, C, P, Q$ están en una esfera, cuyo centro $W$ se proyecta sobre el plano $OXY$. Razonar cuál es el lugar geométrico de esa proyección. Razonar también cuál es el lugar geométrico de $W$.
Cuadrados perfectos en una progresión aritmética
Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números enteros positivos hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos términos de la progresión son cuadrados perfectos.
Un juego de azar
Una máquina de juego de un casino tiene una pantalla en la que se ofrece un esquema como el de la figura.
Para comenzar el juego aparece una bola en el punto $S$. A cada impulso que recibe del jugador, esa bola se mueve hasta una de las letras adyacentes con la misma probabilidad para cada una de ellas. La partida termina al ocurrir el primero de los dos hechos siguientes:
- a) La bola vuelve a $S$ y entonces el jugador pierde.
- b) La bola llega a $G$ y entonces el jugador gana.
Se pide la probabilidad de que el jugador gane y la duración media de las partidas.
Distancias entre puntos de una cuadrícula
Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura
De ellos se han destacado $A$ y $D$. Se pide fijar,de todos los modos posibles, otros dos puntos $B$ y $C$ con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:
Múltiplos de un primo escritos con puros unos
Demostrar que para todo número primo $p$ distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de $p$ de la forma 1111...1 (escrito sólo con unos).
Desigualdad con inradio y circunradio
Justificar razonadamente que, en cualquier triángulo, el diámetro de la circunferencia inscrita no es mayor que el radio de la circunferencia circunscrita.
