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Circunferencias secantes y tangente común
Sean S1 y S2 dos circunferencias de centros O1 y O2, respectivamente, secantes en M y N. La recta t es la tangente común a S1 y S2, más cercana a M. Los puntos A y B son los respectivos puntos de contacto de t con S1 y S2, C el punto diametralmente opuesto a B, y D el punto de intersección de la recta O1O2 con la recta perpendicular a la recta AM trazada por B. Demostrar que M,D y C están alineados.
Polígono regular de n lados
Se construye un polígono regular de n lados (n≥3) y se enumeran sus vértices del 1 al n. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demostrar que si n es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero del 1 al n, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes dos condiciones:
- (a) El número asignado a cada lado o diagonal es distinto a los asignados a los vértices que une.
- (b) Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice
tienen números diferentes.
Sucesión periódica en la mediatriz de un segmento
Sean A y B puntos del plano y C un punto de la mediatriz de AB. Se construye una sucesión C1,C2,…,Cn,… de la siguiente manera: C1=C y, para n≥1, si Cn no pertenece al segmento AB, entonces Cn+1 es el circuncentro del triángulo ABCn.
Determine todos los puntos C tales que la sucesión C1,C2,…,Cn,… está definida para todo n y es periódica a partir de un cierto punto.
Nota: Una sucesión C1,C2,…,Cn,… es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros positivos k y p tales que Cn+p=Cn para todo n≥k.
Circuncírculo de un acutángulo y las alturas de éste
Un triángulo acutángulo ABC está inscrito en una circunferencia de centro O. Las alturas del triángulo son AD,BE y CF. La recta EF corta a la circunferencia en P y Q.
- a) Pruebe que OA es perpendicular a PQ.
- b) Si M es el punto medio de BC, pruebe que AP2=2AD⋅OM
Factor primo de un número con dígitos 1,3,7,9
Sea B un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto {1,3,7,9}. Demuestre que B tiene un factor primo mayor o igual que 11.
Nubes de circunferencias coloreadas
Sean n puntos distintos, P1,P2,…,Pn, sobre una recta del plano (n≥2). Considere todas las circunferencias de diámetro PiPj (1≤i≤j≤n) y coloreadas cada una con uno de k colores dados. Llamamos (n−k)-nube a esta configuración.
Para cada entero positivo k, determine todos los n para los cuales se verifica que toda (n−k)-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.
Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.
Circunferencias bisecantes
Dadas dos circunferencias M y N, decimos que M biseca a N si la cuerda común es un diámetro de N. Considere dos circunferencias fijas C1 y C2 no concéntricas.
- a) Pruebe que existen infinitas circunferencias B tales que B biseca a C1 y B biseca a C2.
- b) Determine el lugar geométrico de los centros de las circunferencias B.
El cubo de la suma de los dígitos
Halle todos los enteros positivos menores que 1000 y tales que el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Resto del término 1998 en la división entre 1998
Sea λ la raíz positiva de la ecuación t2−1998t−1=0. Se define la sucesión x0,x1,x2,…,xn,… por:
x0=1,xn+1=[λxn], para n=0,1,2,…
Hallar el residuo (resto) de la división de x1998 entre 1998.
NOTA: [x] es el único entero k tal que k≤x≤k+1.
Distancias entre pares de puntos en el plano
Hallar el máximo valor posible de n para que existan puntos distintos P1,P2,P3,…,Pn en el plano y números reales r1,r2,…,rn de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes Pi y Pj sea ri+rj.
