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Problema

Problema 1, IMO 2010

Enviado por jesus el 18 de Julio de 2010 - 13:13.

Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(\lfloor x \rfloor y)= f(x) \lfloor f(y) \rfloor$$ para todos los números $x, y \in \mathbb{R}$. ($\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $z$.)

Entrada de blog

Sentido de la estructura geométrica

Enviado por jmd el 18 de Julio de 2010 - 10:49.

En este post voy a comentar la solución del problema 4 de la IMO 2010 (posiblemente el único de los 6 de este concurso que solamente requiere conocimientos elementales).

Problema

Chicas Fresa en Palacio

Enviado por jmd el 16 de Julio de 2010 - 07:57.

Las chicas fresa andan en Palacio de Hierro (sólo les faltan los lentes para irse de vacaciones a Los Cabos):

K: "¿Ya vieron? ¡Qué looser! ¡Son piratas! Nada que ver conmigo, yo quiero unos Carrera, Champion como los de Lady Gaga". 

Noticia

IMO 2010: México lugar 33

Enviado por jmd el 14 de Julio de 2010 - 10:20.

Después de que el año pasado la delegación mexicana que acudió a la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO por sus siglas en inglés) se derrumbó hasta el lugar 50, en la IMO 2010 obtuvo el lugar 33 como país (con una plata y tres bronces), regresando a un nivel satisfactorio. (En los últimos 10 años, los lugares de México en la IMO han sido: 33 (2010), 50, 37, 24, 31, 37, 41, 46, 46, 32(2000).

Problema

P6 OMM 2001. Cuatro axiomas para colección de monedas

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 22:08.

Un coleccionista de monedas raras tiene monedas de denominaciones $1, 2, 3, \ldots, n$ (tiene muchas monedas de cada denominación). Desea poner algunas de sus monedas en las cajas de manera que se cumplan las siguientes condiciones:

Problema

P5 OMM 2001. Probar isósceles... ¿cómo se prueba isósceles?

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 22:05.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB< AC$ y el ángulo $BAC$ es el doble del ángulo $BCA$. Sobre el lado $AC$ se toma un punto $D$ tal que $CD = AB$. Por el punto $B$ se traza una recta $l$ paralela a $AC$. La bisectriz exterior del ángulo en $A$ intersecta a $l$ en el punto $M$, y la paralela a $AB$ por $C$ intersecta a $l$ en el punto $N$. Prueba que $MD = DN$.

Problema

P4 OMM 2001. Lista de residuos cuadráticos

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 22:02.

Dados dos enteros positivos $n$ y $a$, se forma una lista de 2001 números como sigue:

  • el primer número es $a$;
  • a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir al cuadrado del anterior entre $n$.

A los números de la lista se les ponen los signos $+$ y $-$, alternadamente
empezando con $+$. Los números con signo así obtenidos se suman, y a esa suma se le llama suma final para $n$ y $a$.

¿Para qué enteros $n \geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2 \leq a \leq n/2$, y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?

Problema

P3 OMM 2001. Segmentos congruentes --sobre diagonal de un cíclico

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 21:56.

En un cuadrilátero $ABCD$, inscrito en una circunferencia, llamemos $P$ al punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y sea $M$ el punto medio de $CD$. La circunferencia que pasa por $P$ y que es tangente a $CD$ en $M$ corta a $BD$ y $AC$ en los puntos $Q$ y $R$ respectivamente. Se toma un punto $S$ sobre el segmento $BD$ de tal manera que $BS = DQ$. Por $S$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $AC$ en un punto $T$. Prueba que $AT = RC$.

Problema

P2 OMM 2001. Un problema pelotudo

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 21:53.

Se tienen algunas pelotas de colores (son por lo menos tres colores), y por lo menos tres cajas. Las pelotas se ponen en las cajas de manera que no quede vacía ninguna caja y que no haya tres pelotas de colores distintos que estén en tres cajas distintas. Prueba que hay una caja con todas las pelotas que están fuera de ella son del mismo color.

Problema

P1 OMM 2001. Múltiplos de 3 y 7 con dígitos 3 o 7

Enviado por jmd el 13 de Julio de 2010 - 21:50.

Encuentra todos los números de 7 dígitos que son múltiplos de 3 y de 7,
y cada uno de cuyos dígitos es 3 o 7.

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