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Problema 1 - IMO 2015 - Conjunto de puntos y mediatrices.
Decimos que un conjunto finito $\cal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\cal{S}$ hay un punto $C$ en $\cal{S}$ tal que $AC = BC$. Decimos que $\cal{S}$ es libre de centros si para cada tres puntos distintos $A$, $B$, $C$ en $\cal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\cal{S}$ tal que $PA=PB=PC$.
- Demostrar que para todo $n \geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
- Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.
Elemental de números --pero no trivial
Hay siete cajas numeradas del 1 al 7 y alineadas. Tú tienes 2015 tarjetas que colocas en las cajas de una por una. La primera tarjeta la colocas en la primera caja, la segunda en la segunda, hasta llegar a la séptima carta la cual colocas en la caja 7. En ese momento empiezas a colocar las tarjetas en la otra dirección colocando la carta 8 en la caja 6, la 9 en la 5, hasta llegar a la carta 13 que colocas en la caja 1. La tarjeta 14 la colocas entonces en la caja 2, y continuas así hasta que cada tarjeta haya sido distribuida. ¿En cuál caja se coloca la última tarjeta? (Justifica tu respuesta.)
Necesario organizar en casos
¿Cuántos números de 6 dígitos son tales que
- los dígitos de cada número son del conjunto $\{1,2,3,4,5\}$
- cualquier dígito que aparece en el número aparece al menos dos veces?
Ejemplo: 222133 no es admisible
Problema geométrico --no tan trivial
Sea ABCD un cuadrado unitario. Con en A y radio AB se traza el arco BD. De manera similar, con centro en B y radio BA, se traza el arco AC. Calcular el radio r del círculo $\gamma$ que es tangente a los arcos AC y BD y al lado AB del cuadrado unitario.
Razonado elemental de números
Problema 11
Tres cuadrados idénticos $ABCD, AEFG, AHIJ$ (todos etiquetados en contra de las manecillas del reloj) tienen el vértice $A$ en común y los ángulos $JAB, DAE, GAH$ son iguales. Calcular el ángulo $GBH$
Problema 10
En tierras muy lejanas había una mujer que tenía 9 hijos y los tuvo en intervalos regulares de 15 meses. El mayor de ellos tenía 6 veces la edad del menor. ¿Cuál era la edad del menor?
Problema 9
Un polígono regular de $n$ lados es seccionado en dos partes mediante un solo corte recto. Una parte es un triángulo y la otra es un polígono de $m$ lados. ¿Cómo se relacionan $m$ y $n$ ?
Problema 8
En una sucesión de 6 números, cada término después del segundo es la suma de los dos anteriores. Sabiendo que los 6 suman 13 y que el último término es cuatro veces el primero, calcula el primer término
Problema 7
Encuentra los valores de $a$ y $b$ enteros positivos en los que se cumpla que $a/5 + b/7 = 31/35$