Publicaciones Recientes
P6. OMM 1993. El siguiente del producto de 4 consecutivos
Sea f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)+1 y p un número primo impar. Pruebe
que existe un entero n tal que p divide a f(n) si y sólo si existe un entero
m tal que p divide a m2−5.
P5. OMM 1993. Intersecciones colineales de circunferencias
Por un punto O de una circunferencia, se tienen tres cuerdas que sirven
como diámetros de tres circunferencias. Además del punto común O, las
circunferencias se intersectan por parejas en otros tres puntos. Demuestre
que tales puntos son colineales.
P4. OMM 1993. Recurrencia en dos variables
Para cualquier número entero n>0, se define:
1. f(n,0)=1 y f(n,n)=1
2. f(n,k)=f(n−1,k−1)+f(n−1,k) para 0<k<n.
¿Cuántos cálculos se tienen que hacer para encontrar el valor de f(3991,1993),
sin contar aquellos de la forma f(n,0) y f(n,n)?
P2. OMM 1993. La suma de los cubos de sus 3 cifras...
Encuentre los números de tres cifras tales que la suma de los cubos de éstas es igual al número.
P1. OMM 1993. Triángulos en los catetos
Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Se construyen exteriormente
a este triángulo los triángulos rectángulos isósceles AEC y ADB con
hipotenusas AC y AB, respectivamente. Sea O el punto medio de BC
y sean E′ y D′ los puntos de intersección de OE y OD con DB y EC
respectivamente. Calcule el área del cuadrilátero DED′E′ en función de
los lados del triángulo ABC.
P6 OMM 1992. Muchas preguntas con un rectángulo
Sea ABCD un rectángulo. Sean I el punto medio de CD y M la intersección de BI con la diagonal AC.
- 1. Pruebe que DM pasa por el punto medio de BC.
-
2. Sea E el punto exterior al rectángulo tal que ABE sea un triángulo
isósceles y rectángulo en E. Además, supongamos que BC=BE=a.
Pruebe que ME es bisectriz del ángulo AMB. - 3. Calcule el área del cuadrilátero AEBM en función de A.
P5 OMM 1992. Desigualdad con suma de radicales
Sean x,y,z números reales positivos tales que x+y+z=3. Si
S=√2x+3+√2y+3+√2z+3,
pruebe que 6<S≤3√5
P4 OMM 1992. Suma de potencias múltiplo de 100
Muestre que 100 divide a la suma de potencias 1+1111+111111+…+11111111111111111111
P3 OMM 1992. Siete puntos en hexágono
Considere siete puntos dentro o sobre un hexágono regular y pruebe que
tres de ellos forman un triángulo cuya área es menor o igual que 16 del
área del hexágono.
P2 OMM 1992. Cuartetas y múltiplos de un primo
Sea p un número primo, diga cuántas cuartetas distintas (a,b,c,d) existen, con a, b, c y d enteros y 0≤a,b,c,d≤p−1, tales que ad−bc sea múltiplo de p.
