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OMM 2008, Problema 6
Las bisectrices internas de los ángulos A, B y C de un triángulo ABC concurren en I y cortan
al circuncírculo de ABC en L, M y N, respectivamente. La circunferencia de diámetro IL,
corta al lado BC, en D y E; la circunferencia de diámetro IM corta al lado CA en F y G;
la circunferencia de diámetro IN corta al lado AB en H y J. Muestra que D, E, F, G, H,
J están sobre una misma circunferencia.
IMO 2008, Problema 1
Un triangulo $ ABC $ tiene ortocentro $ H $. La circunferencia con centro en el punto medio de $ BC $, que pasa por $ H $, corta a la recta $ BC $ en $A_1$y$A_2$, de manera similar se definen los puntos $B_1,B_2$ en la recta $CA$ y $C_1,C_2$ en la recta $AB$. Demuestra que los puntos $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ estan en una misma circunferencia.
Exploración de una propiedad de partición de un n
Con referencia al problema de los Libre de cuadrados, me gustaría decir dos o tres cosas que podrían ser útiles para los novicios en concursos. El problema que planteó Jesús --y que resolvió Zzq-- sobre los libres de cuadrados, es un buen ejercicio en demostración matemática y tiene el nivel de concurso interestatal e incluso de un fácil de un nacional. (Los novicios harían bien en irse familiarizando con los usos y costumbres de la demostración matemática y es para ellos que va dedicado este post.)
Una caracterización de los libres de cuadrados
Considera un entero $n > 1$. Demuestra que existen enteros $a,b \geq 1$ tales que $a+b=n$ y $n | ab$ si y sólo si $ n $ no es libre de cuadrados.
Zzq y la Ley de Linus
Zzq, eres un profesional en problem solving. Las gracias te sean dadas por el contra-ejemplo-comentario al problema de Brandon --del cual espero que no vea ahí una tacha sino la retroalimentación amistosa de uno de sus iguales (o superiores, eso la verdad no importa tanto...). Porque lo que surge de esa interacción (Brandon, Zzq,y Fernando) es una chispa de conocimiento, de la cual se benefician los usuarios de MaTeTaM realmente interesados en la solución de problemas de concurso (Sadhi, por ejemplo).
Problema básico
Sean $a$ y $b$ dos números enteros positivos tales que $a+b=2009$, probar que 2009 no divide al producto $ab$.
Problema 8 Geometrense
Sean ABC un triángulo y AP, AQ las tangentes desde A a la circunferencia de diámetro BC (P y Q los puntos de tangencia). Muestra que el ortocentro H de ABC está sobre PQ.
Se le quitó la gripa, pero lo porcino... ¿cuándo?
Saliendo del hospital, "Chupy --el muñeco alcoholico--", se detuvo a echarse unos tacos en el carretón de enfrente. Pidió 10 surtidos y una Diet Coke (8 pesos).
Perpendicular si y sólo si el triángulo es isósceles
Sea ABC un triángulo de circuncentro O, sea M el punto medio de AB y E el gravicentro del triángulo AMC. Demostrar que OE y CM son perpendiculares si y sólo si AB=AC
Basico de Algebra
