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Ejercicio 3.3.1
Considera la tripleta $(\mathcal{P}, \mathcal{L}, \mathcal{I})$ con $\mathcal{P}=\{1,2,3, 4\}$, $\mathcal{L} = \{a, b, c, d, e, f\}$ y $\mathcal{I} = \{(1,a), (2,a), (3,b), (4,b), (1,c), (3,c), (2,d), (4,d), (1,e),(4,e),(2,f),(3,f)\}$.
- Dibuja un diagrama de esta tripleta.
- Verifica que esta tripleta satisface únicamente dos de los axiomas de plano proyectivo.
Ejercicio 3.2
Sea $\pi$ un plano proyectivo. Usa la definición 3.11(la definición de espacio proyectivo pero simplificada) para probar que:
P3'. Existe almenos tres líneas no concurrentes en $\pi$.
P4'. Exiten almenos tres líneas que pasan por cualquier punto en $\pi$.
Deduce que el principio de dualidad es válido en un plano proyectivo.
Ejercicio 3.1.7
Demuestra que para cuales quiera $S_r$ y $S_n$ espacios proyectivos, el espacio $S_r \oplus S_n $ está formado por aquellos (y sólo aquellos) puntos que se encuentran sobre un línea que une un punto de $S_r$ y uno de $S_n$
Magia con matemáticas
Sea $ K $ un entero positivo de $ n $ cifras y $ S $ la suma de todas las cifras de $ K $. Demuestra que $ K $ menos $ S $ es múltiplo de 9 para todo $ n $, con $ n $ mayor o igual a 2.
Reencuentro con un problema de combinatoria (viejo y sin solución)
Voy a comentar en este post el problema denominado en MaTeTaM "Clave secreta". Este problema lo subí a MaTeTaM en julio del 2008 (de acuerdo a los datos registrados), y la verdad no sé de dónde lo saqué ni por qué no incluí la solución o si ésta se perdió en alguna de las migraciones que ha hecho MaTeTaM de un software a otro. Me imagino que el problema se incluyó en uno de los selectivos aplicados a la preselección olímpica Tamaulipas 2008.
El enunciado del problema es el siguiente:
Ejercicio 3.1.2
Hey, que tal! ! ! En el problema 3.1.2 sobre los planos oblicuos en S4, nos dice que los planos (pi), (alfa) y (beta) son mutuamente oblícuos.
Examen ENLACE: algunas características distintivas de sus preguntas
Voy enseguida a comentar las 4 preguntas del quiz de preguntas del examen ENLACE que está disponible en MaTeTaM. Las preguntas de este quiz están tomadas directamente del generador de preguntas del examen ENLACE que está disponible en el sitio de la Dirección General de Políticas de la SEP. (Este generador de preguntas del examen ENLACE pesa 200Mb y hay que instalarlo en la PC.) Las preguntas del quiz son entonces preguntas auténticas del examen ENLACE.
Con la finalidad de que al lector le haga más sentido este post tiene que entrar a ver y resolver el quiz de preguntas del examen ENLACE. (Si así lo desea puede cliquear en el icono de la impresora --arriba a la derecha de la página del quiz-- para obtener la versión para imprimir.) Las 4 preguntas son elementales pero... bueno que cada quien juzgue según su puntaje obtenido...
Prepárate para ENLACE 2010
Vaya una felicitación a la SEP de parte del que esto escribe, pues ya está haciendo la tarea de poner en sus sitios web más información sobre el EXAMEN ENLACE. Un poco retrasada pero... así somos en México.
En septiembre del año pasado yo había buscado las preguntas de ese año y no estaban disponibles (solamente encontré 2 --ver mi post digresiones estilísticas). A principios de este mes pude entrar a ver todas las preguntas (incluyendo el desempeño de 2 cbtis de Victoria) mediante un truco que se explica en mi post ¿cómo entrar a ver las preguntas?.
Ejercicio 3.1.5
Sean $\ell$, $m$ y $n$ tres líneas mutuamente oblicuas (i.e, no dos de ellas se intersectan) en un espacio proyectivo $S_3$ de dimensión 3. Demuestre que por cada punto de $\ell$ pasa una única línea $r$ que intersecta a $m$ y $n$.
Esas líneas son llamadas $(\ell, m, n)$-transversales. El conjunto de $\mathcal{R}$ de todas las $(\ell, m, n)$-transversales es llamado un regulus, y algunas veces es denotado por $\mathcal{R}(\ell, m, n)$. Demuestre que no hay dos $(\ell, m , n)$-transversales distintas que se intersecten.
Ejercicio 3.1.2
Dos planos en un espacio proyectivo de dimensión 4, $S_4$, se dice que son oblicuos (skew en inglés) si se intersectan en un sólo punto. Sean $\pi$, $\alpha$ y $\beta$ tres planos mutuamente oblicuos en $S_4$. Demuestra que existe un único plano de $S_4$ que intesecta a cada uno de los planos $\pi$, $\alpha$ y $\beta$ en una recta.
