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Un cubo y muchos cubitos
Un cubo de $n \times n \times n$ está construido con cubitos de $1\times 1 \times 1 $, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de $n \times 1 \times 1 $, de $1 \times n \times1 $ y de $1 \times 1 \times n$ hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la siguiente ilustración, se muestra una posible rebanada de cubo de $6 \times 6 \times 6 $ (formada por 6 subprismas de $1\times{6}\times{1}$
Primer día de la OMM --en Huasca, Hidalgo
El día de hoy 25 de noviembre de 2013 inició la XXVII Olimpiada de Matemáticas en Huasca, Hidalgo. Los jóvenes participantes intentaron resolver (y seguramente varios lo lograron) 3 problemas en un lapso de 4 horas y media.
Cada selección estatal consta de 6 adolescentes (los más cabecillas de su estado). Según información del Delegado Tamaulipas para la OMM, el examen del primer día estuvo difícil --según los comentarios de pasillo de la selección Tamaulipas y quizá de otras.
Elección con restricción negativa
¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puedes tomar del conjunto de números
enteros $\{1,2, . . . ,2012,2013\}$, de tal manera que entre ellos no haya tres distintos,
digamos $a, b, c$, tales que $a$ sea divisor o múltiplo de $b−c$?
Circunferencia con centro en diagonal de paralelogramo
Sea $ABCD$ un paralelogramo con ángulo obtuso en $A$. Sea $P$ un punto sobre el
segmento $BD$ de manera que la circunferencia con centro en $P$ y que pasa por $A$, corte a la recta $AD$ en $A$ y $Y$ , y corte a la recta $AB$ en $A$ y $X$. La recta $A$P intersecta a $BC$ en $Q$ y a $CD$ en $R$, respectivamente. Muestra que $\angle{XPY} = \angle{XQY} +\angle{XRY}$ .
¡¿Todas?!
Se escriben los números primos en orden, $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, \ldots$. Encuentra todas las parejas de números enteros positivos $a$ y $b$ con $a − b \geq 2$, tales que $p_a −p_b$ divide al número entero $2(a−b)$.
Mapa conceptual de vectores
Descarga mapa conceptual con todos los conceptos relacionados con vectores. Puedes revisarlo en fomrato SVG y formato PDF.
Problem solving con vectores --2a parte
En este post voy a continuar el post anterior sobre vectores añadiendo dos operaciones adicionales a las ya abordadas (suma y resta y multiplicación por un escalar).
Se trata del producto interior (o escalar o punto) entre dos vectores y el producto área (o exterior o cruz), los cuales aportan, respectivamente, sendos criterios para la perpendicularidad y la colinealidad de vectores. Se discuten algunas instancias de uso para demostrar el potencial de los vectores en el problem solving de geometría. Voy a iniciar con un
Argumentos combinatorios --en elección restringida
Como se sabe, el número de subconjuntos de tamaño $k$ tomados del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ se calcula con la fórmula $$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Puesto que este post es sobre argumentos combinatorios, empezaremos con la derivación de la fórmula de las combinaciones.
Dos modelos generales de razonamiento combinatorio
Modelo de la urna: los n objetos están dentro de una urna y se eligen k en sucesión y sin reemplazo.
Sobre el difícil del estatal OMM Tamaulipas 2013
En el concurso estatal de la XXVII OMM Tamaulipas 2013, el problema 4 fue de álgebra y la expectativa era que nadie lo resolvería. Pero, para nuestra sorpresa, un alumno del CBtis 15 (el plantel sede) lo resolvió correctamente (usando derivadas). Vaya una felicitación para Oscar Rosas Castillo por no dejarse intimidar por ese problema --y por tener las herramientas necesarias para resolverlo.
El problema (y algunos comentarios)
4A. Encontrar el valor mínimo de la expresión $(x^4+x^2+5)/(x^2+1)^2$ y el valor de la $x$ para el cual se logra.
Problem solving con vectores
En este post voy a argumentar a favor del uso de los vectores en el problem solving en geometría. Con las definiciones iniciales de vector, vectores de posición, vectores libres, igualdad de vectores, y la suma y resta de vectores presento la demostración de varios teoremas de la geometría como instancias de uso de esta poderosa herramienta. Destacan las instancias de uso finales sobre la demostración puramente vectorial de la fórmula de Sylvester y de la Recta de Euler.
