Publicaciones Recientes

Problema

P3 OMM 1994. Bisectriz en un paralelogramo

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 12:34.

Considere un paralelogramo $ABCD$ (con $AB$ paralela a $CD$ y $BC$ paralela a $DA$). Sobre la prolongación del lado $AB$ encuentre un punto $E$, de manera que $BE = BC$ (y con $B$ entre $A$ y $E$). Por $E$, trace una perpendicular a la línea $AB$, ésta se encontrará en un punto $F$ con la línea que pasa por $C$ y es perpendicular a la diagonal $BD$. Muestre que $AF$ divide en dos ángulos iguales al ángulo $DAB$.

Problema

P2 OMM 1994. Desorden en los números del reloj

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 12:32.

Los doce números de un reloj se desprendieron y al colocarlos nuevamente,
se cometieron algunos errores. Demuestre que en la nueva colocación hay
un número que al sumarle los dos números que quedaron a sus lados se
obtiene un resultado mayor o igual a 21.
 

Problema

P1 OMM 1994. Sucesión con regla singular de formación

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 12:29.

La colección infinita de números $1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, \ldots$ se ha
formado de la siguiente manera: Se coloca primero el primer impar $(1)$,
luego los siguientes dos pares $(2, 4)$, después los siguientes tres impares
$(5, 7, 9)$, luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó
y así sucesivamente. Encuentra el término de la secuencia más cercano a
1994.

Problema

P6. OMM 1993. El siguiente del producto de 4 consecutivos

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 16:09.

Sea $f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)+1$ y $p$ un número primo impar. Pruebe
que existe un entero $ n $ tal que $p$ divide a $f(n)$ si y sólo si existe un entero
$m$ tal que $p$ divide a $m^2 - 5$.

Problema

P5. OMM 1993. Intersecciones colineales de circunferencias

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 16:08.

Por un punto $O$ de una circunferencia, se tienen tres cuerdas que sirven
como diámetros de tres circunferencias. Además del punto común $O$, las
circunferencias se intersectan por parejas en otros tres puntos. Demuestre
que tales puntos son colineales.
 

Problema

P4. OMM 1993. Recurrencia en dos variables

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 16:05.

Para cualquier número entero $n>0$, se define:
1. $f(n, 0) = 1$ y $f(n, n) = 1$
2. $f(n, k) = f(n - 1, k - 1) + f(n - 1, k)$ para $0<k<n$.
¿Cuántos cálculos se tienen que hacer para encontrar el valor de $f(3991, 1993)$,
sin contar aquellos de la forma $f(n, 0)$ y $f(n, n)$?

Problema

P2. OMM 1993. La suma de los cubos de sus 3 cifras...

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 16:01.

Encuentre los números de tres cifras tales que la suma de los cubos de éstas es igual al número.

Problema

P1. OMM 1993. Triángulos en los catetos

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 15:38.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$. Se construyen exteriormente
a este triángulo los triángulos rectángulos isósceles $AEC$ y $ADB$ con
hipotenusas $AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $O$ el punto medio de $BC$
y sean $E'$ y $D'$ los puntos de intersección de $OE$ y $OD$ con $DB$ y $EC$
respectivamente. Calcule el área del cuadrilátero $DED'E'$ en función de
los lados del triángulo $ABC$.

Problema

P6 OMM 1992. Muchas preguntas con un rectángulo

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:09.

Sea $ABCD$ un rectángulo. Sean $I$ el punto medio de $CD$ y $M$ la intersección de $BI$ con la diagonal $AC$.

  • 1. Pruebe que $DM$ pasa por el punto medio de $BC$.
  • 2. Sea $E$ el punto exterior al rectángulo tal que $ABE$ sea un triángulo
    isósceles y rectángulo en $E$. Además, supongamos que $BC = BE = a$.
    Pruebe que $ME$ es bisectriz del ángulo $AMB$.
  • 3. Calcule el área del cuadrilátero $AEBM$ en función de $A$.
Problema

P5 OMM 1992. Desigualdad con suma de radicales

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:02.

Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x + y + z = 3$. Si
$$S = \sqrt{2x + 3} + \sqrt{2y + 3} + \sqrt{2z + 3},$$
pruebe que $6 < S \leq 3\sqrt{5}$

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