Problemas - Álgebra

Problema

Fracción con mínimo denominador

Enviado por jmd el 11 de Octubre de 2010 - 12:22.

 De todas las fracciones $\frac{x}{y}$ que cumplen $$\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$$ encuentra la que tenga menor denominador.

Problema

Seccionado recursivo

Enviado por jmd el 11 de Octubre de 2010 - 12:20.

 Sofía tiene 5 pedazos de papel en una mesa. Toma algunos de los pedazos, corta cada uno en 5 pedacitos y los vuelve a poner en la mesa. Ella repite este procedimiento varias veces hasta que se cansa. ¿Podría Sofía llegar a tener 2010 pedazos al final en la mesa?

Problema

Suma de potencias múltiplo de 7

Enviado por jmd el 16 de Agosto de 2010 - 18:05.

Demostrar que para $n$ entero no negativo, la función $f(n)=4^{2^n}+2^{2^n}+1$ es múltiplo de 7.

Problema

Coeficientes de una expresión cuártica

Enviado por jmd el 13 de Agosto de 2010 - 10:56.

Calcular el valor de la expresión $(a_0+a_2+a_4)^2-(a_1+a_3)^2$, donde los $a_i$ son los coeficientes de la expansión de  $(2x+\sqrt{3})^4$: $$(2x+\sqrt{3})^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$$
 

Problema

Desigualdad de Jensen

Enviado por jesus el 12 de Agosto de 2010 - 10:44.

Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función punto medio convexa, es decir, que satisface que: $$f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} $$ para toda pareja de números reales  $x,y \in \mathbb{R}$.

Demostrar que para cualesquiera números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ se satisface la siguiente desigualdad: $$f \left(\frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \right) \leq \frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)}{n}.$$

Problema

Composición de la función "suma de sus dígitos"

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 07:29.

Para un entero positivo $ n $ se definen $n_1$ como la suma de los dígitos de $ n $, $n_2$ como la suma de los dígitos de $n_1$, y $n_3$ como la suma de los dígitos de $n_2$.

Por ejemplo para $n = 199$, $n_1 = 199_1 = 19, n_2 = 199_2 = 10$ y $n_3 = 199_3 = 1$.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m, n)$ tales que:$$m + n = 2007$$ $$m_3 + n_3 = 2007_3$$

Problema

Desigualdad homogenea

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 07:20.

Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a+b+c = 1$.
Muestra que: $$\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab}\leq 2.$$

Problema

Juego de caballeros

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:40.

Los caballeros $C_1,C_2,\ldots,C_n$, del Rey Arturo, se sientan en una mesa
redonda de la siguiente manera:



El rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros. Iniciando con $C_1$, y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, los caballeros irán diciendo los números 1, 2, 3, luego 1, 2, 3, y así sucesivamente (cada caballero dice un número). Cada caballero que diga 2 ó 3 se levanta inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un solo caballero: el ganador.

Problema

P6 OMM 2006. Problema con números surtidos

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:34.

Sea $n$ la suma de los dígitos de un entero positivo $A$. Decimos que $A$ es “surtido” si cada uno de los enteros $1,2,\ldots,n$ es suma de dígitos de $A$

  • Demuestra que si $1,2,\ldots,8$ son sumas de dígitos de un entero $A$ entonces $A$ es surtido.
  • Si $1,2,\ldots,7$ son sumas de dígitos de un entero $A$, ¿es $A$ necesariamente surtido?

Nota: El número 117 no es surtido pues sólo $1=1, 2 = 1+1, 7 = 7, 8 = 1 + 7, 9 = 1 + 1 + 7$ se pueden escribir como suma de dígitos de 117.
 

Problema

P4 OMM 2005. Eliminar (ternas aritméticas) reordenando

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 08:08.

Decimos que una lista de números $a_1,a_2,\ldots,a_m$ contiene una terna aritmética $a_i,a_j,a_k$, si $i<j< k$ y $2a_j = a_i + a_k$. Por ejemplo, 8,1,5,2,7 tiene una terna aritmética (8,5 y 2) pero 8,1,2,5,7 no. Sea $ n $ un entero positivo. Muestra que los números $1,2,\ldots,n$ se pueden reordenar en una lista que no contenga ternas aritméticas.