Geometría

Las prolongaciones de los lados $AB$ y $CD$ de un trapecio se intersecan en $K$, y sus diagonales en $L$. Si $M,N$ son los puntos medios de de las bases, demostrar que los puntos $K,L,M,N$ están en una misma recta.

Las diagonales de un cuadrilátero convexo dividen a éste en cuatro triángulos. Demostrar que sus baricentros forman un paralelogramo.

 Sean dadas dos circunferencias de radios diferentes y una afuera de la otra, y $H$ la intersección de sus tangentes exteriores comunes. Demostrar que para cualquier punto $A$ en una de las circunferencias, existe un punto $B$ en la otra de tal manera que $HA\cdot{HB}=HP\cdot{HQ}$, donde $P,Q$ son los puntos de tangencia de una de las tangentes comunes.

Sean dadas una circunferencia de radio $r$ y centro $O$, y una recta $l$. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $Y$ tales que $OX\cdot OY=r^2$, cuando $X$ se mueve sobre $l$.

Sean dados una circunferencia de centro $O$ y radio $r$, y un punto $A$ en su interior distinto de $O$. Encontrar un punto $B$ en el plano de tal manera que $OA\cdot{OB}=r^2$. Justifica tu respuesta demostrando la validez del procedimiento que ubica el punto $B$.

Considérese el circuncírculo del triángulo $ABC$. Demostrar que si $D$ es la intersección de las tangentes al circuncírculo por $B$ y $C$, entonces $AD$ es el reflejo de la mediana del triángulo por $A$, en el espejo de la bisectriz de $A$.

Dos rectas se dicen antiparalelas, respecto a un ángulo de referencia, si forman el mismo ángulo en lados opuestos de la bisectriz de ese ángulo.

Demostrar que:

En el triángulo $ABC$, rectángulo en $C$, la bisectriz de $A$ corta a $BC$ en $P$ y la bisectriz de $B$ corta a $CA$ en $Q$. Sean $M$ y $N$ las proyecciones de $P$ y $Q$, respectivamente, sobre el lado $AB$ . Calcular la medida del ángulo $MCN$.

 Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo con centro $O$. La altura de $A$ y el radio $OA$ forman un ángulo cuya medida es la diferencia de las de $B$ y $C$

Sean $H$ el ortocentro y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Si $M$ es el punto medio del lado $BC$, entonces $AH=2MO$. Demostrarlo.