Geometría

Construir el triángulo $ABC$ dadas las longitudes $m_a$ de su mediana desde $A$, $d_a$ de la bisectriz del ángulo $A$, y $h_a$ de la altura del vértice $A$ (respecto a su lado opuesto $BC$).

 Demostrar que, en un triángulo $ABC$, la altura de cualquier vértice y la recta que pasa por él y el circuncentro forman el mismo ángulo con la bisectriz (de ese mismo vértice).

 Dentro del triángulo $ABC$, considere un punto $P$, y $C'$ y $B'$, los pies de las perpendiculares bajadas desde $P$ a los lados $AB$ y AC, respectivamente. Demostrar que si $Q$ es un punto tal que $C'PB'Q$ es paralelogramo, entonces las rectas $AP$ y $AQ$ son simétricas respecto a la bisectriz del ángulo $A$.

Una alberca, cuyo espejo del agua es un rectángulo $a\times{b}$, tiene el fondo inclinado también rectangular de manera que la profundidad en un extremo ($h$) es un metro menor que la del otro. Obtener una fórmula para calcular la capacidad de la alberca en metros cúbicos y usarla para $h=1,a=3,b=6$. Nota: puedes suponer que $a,b,h$ están expresadas en metros y las paredes son verticales.

El área de un triángulo rectángulo es 150 unidades, y la altura perpendicular a la hipotenusa mide 12. Calcular la longitud de sus lados.

En un triángulo acutángulo ABC sean AE y BF dos alturas, y sea H el ortocentro. La recta simétrica de AE respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en A y la recta simétrica de BF respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en B se intersecan en un punto O. Las rectas AE y AO cortan por segunda vez a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC en los puntos M y N, respectivamente.

Sean: P, la intersección de BC con HN; R, la intersección de BC con OM; y S, la intersección de HR con OP.

Demostrar que AHSO es un paralelogramo.

Con centro en el incentro I, de un triángulo ABC se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento BC en D y P (siendo D el más cercano a B); al segmento CA en E y Q (siendo E el más cercano a C), y al segmento AB en F y R (siendo F el más cercano a A).

Sea S el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero EQFR. Sea T el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero FRDP. Sea U el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero DPEQ.

Sean $n \geq 2$ un número entero y $D_n$ el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano cuyas coordenadas son números enteros con $-n \leq x  \leq n $ y $-n \leq y \leq n$

 Demuestra que, para un triángulo no equilátero, el circuncentro, el gravicentro y el ortocentro están sobre una misma recta.

 En la figura se muestra un triángulo $ABC$ y su circuncírculo. El segmento que va desde el circuncentro $O$ (concurrencia de mediatrices) al gravicentro $G$ (concurrencia de medianas) se ha prolongado hasta cortar a la altura $AD$ en $H$.

Demostrar:

• (a) Los triángulos $OMG$ y $HAG$ son semejantes
• (b) El segmento $GH$ mide el doble que el $OG$
• (c) En $H$ concurren las tres alturas