Geometría
Antiparalelas
Dos rectas se dicen antiparalelas, respecto a un ángulo de referencia, si forman el mismo ángulo en lados opuestos de la bisectriz de ese ángulo.
Demostrar que:

La clave está en la figura
En el triángulo ABC, rectángulo en C, la bisectriz de A corta a BC en P y la bisectriz de B corta a CA en Q. Sean M y N las proyecciones de P y Q, respectivamente, sobre el lado AB . Calcular la medida del ángulo MCN.
Una propiedad banal de dos isogonales
Sea ABC un triángulo y Γ su circuncírculo con centro O. La altura de A y el radio OA forman un ángulo cuya medida es la diferencia de las de B y C
Circuncentro y ortocentro: una propiedad métrica
Sean H el ortocentro y O el circuncentro del triángulo ABC. Si M es el punto medio del lado BC, entonces AH=2MO. Demostrarlo.
Construcción de un triángulo
Construir el triángulo ABC dadas las longitudes ma de su mediana desde A, da de la bisectriz del ángulo A, y ha de la altura del vértice A (respecto a su lado opuesto BC).
Isogonales: iso (igual) gono (ángulo)
Demostrar que, en un triángulo ABC, la altura de cualquier vértice y la recta que pasa por él y el circuncentro forman el mismo ángulo con la bisectriz (de ese mismo vértice).
Reflejos en el espejo de la bisectiz
Dentro del triángulo ABC, considere un punto P, y C′ y B′, los pies de las perpendiculares bajadas desde P a los lados AB y AC, respectivamente. Demostrar que si Q es un punto tal que C′PB′Q es paralelogramo, entonces las rectas AP y AQ son simétricas respecto a la bisectriz del ángulo A.
Volumen de una alberca
Una alberca, cuyo espejo del agua es un rectángulo a×b, tiene el fondo inclinado también rectangular de manera que la profundidad en un extremo (h) es un metro menor que la del otro. Obtener una fórmula para calcular la capacidad de la alberca en metros cúbicos y usarla para h=1,a=3,b=6. Nota: puedes suponer que a,b,h están expresadas en metros y las paredes son verticales.
Triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es 150 unidades, y la altura perpendicular a la hipotenusa mide 12. Calcular la longitud de sus lados.
Demostrar que un cuadrilátero es paralelogramo (Problema 5, OIM)
En un triángulo acutángulo ABC sean AE y BF dos alturas, y sea H el ortocentro. La recta simétrica de AE respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en A y la recta simétrica de BF respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en B se intersecan en un punto O. Las rectas AE y AO cortan por segunda vez a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC en los puntos M y N, respectivamente.
Sean: P, la intersección de BC con HN; R, la intersección de BC con OM; y S, la intersección de HR con OP.
Demostrar que AHSO es un paralelogramo.
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