Geometría

 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto cualquiera sobre el segmento $BC$ ($P \neq B$ y $P \neq C$). Supón que la circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta al segmento $AB$ en $R$ ($R \neq A$ y $R \neq B$) y que la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta al segmento $CA$ en el punto $Q$ ($Q \neq C$ y $Q \neq A$).

• (i) Considera el triángulo $PQR$; muestra que es semejante al triángulo $ABC$ y que su ortocentro es $O$.
• (ii) Muestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO, COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.

Sean $\alpha$ y $\beta$ dos circunferencias tales que el centro $O$ de $\beta$ está sobre $\alpha$. Sean $C$ y $D$ los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto $A$ sobre $\alpha$ y un punto $B$ sobre $\beta$ tales que $AC$ es tangente a $\beta$ en $C$ y $BC$ es tangente a $\alpha$ en el mismo punto $C$. El segmento $AB$ corta de nuevo a $\beta$ en $E$ y ese mismo segmento corta de nuevo a $\alpha$ en $F$. La recta $CE$ vuelve a cortar a $\alpha$ en $G$ y la recta $CF$ corta a la recta $GD$ en $H$. Prueba que el punto de intersección de $GO$ y $EH$ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $DEF$.

Sean $Z,Y$ los puntos de tangencia del incírculo del triángulo $ABC$ con los lados $AB,CA,$ respectivamente. La paralela a $YZ$ por el punto medio $M$ del lado $BC,$ corta a $CA$ en $N$. Sea $L$ el punto sobre $CA$ tal que $NL = AB$ (y $L$ del mismo lado de $N$ que $A$). La recta $ML$ corta a $AB$ en $K$. Muestra que $KA = NC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AD$ paralelo a $BC$, los ángulos en $A$ y $B$ rectos y tal que el ángulo $CMD$ es recto, donde $M$ es el punto medio de $AB$. Sean $K$ el pie de la perpendicular a $CD$ que pasa por $M$, $P$ el punto de intersección de $AK$ con $BD$ y $Q$ el punto de intersección de $BK$ con $AC$. Demuestra que el ángulo $AKB$ es recto y que $$\frac{KP}{PA} + \frac{KQ}{QB} = 1$$
 

Sean $ABCD$ un paralelogramo y $\kappa$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABD$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $\kappa$ con los lados (o sus prolongaciones) $BC$ y $CD$, respectivamente ($E$ distinto de $B$ y $F$ distinto de $D$). Demuestra que el circuncentro del triángulo $CEF$ está sobre $\kappa$.

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sean $E$ un punto en el arco $\widehat{BDC}$ y $F$ un punto en el lado $BC$ tales que
$$\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2} \angle BAC.$$
Sea $G$ el punto medio del segmento $IF$. Demuestre que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.

Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Las rectas $AP,BP,CP$ cortan otra vez a $\Gamma$ en los puntos $K,L,M$, respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Demostrar que si $SC=SP$ entonces $MK=ML$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB< AC$ y el ángulo $BAC$ es el doble del ángulo $BCA$. Sobre el lado $AC$ se toma un punto $D$ tal que $CD = AB$. Por el punto $B$ se traza una recta $l$ paralela a $AC$. La bisectriz exterior del ángulo en $A$ intersecta a $l$ en el punto $M$, y la paralela a $AB$ por $C$ intersecta a $l$ en el punto $N$. Prueba que $MD = DN$.

En un cuadrilátero $ABCD$, inscrito en una circunferencia, llamemos $P$ al punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y sea $M$ el punto medio de $CD$. La circunferencia que pasa por $P$ y que es tangente a $CD$ en $M$ corta a $BD$ y $AC$ en los puntos $Q$ y $R$ respectivamente. Se toma un punto $S$ sobre el segmento $BD$ de tal manera que $BS = DQ$. Por $S$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $AC$ en un punto $T$. Prueba que $AT = RC$.

Sea $ABC$ un triángulo en el que $\angle{B} >90$ y en el que un punto $H$ sobre $AC$ tiene la propiedad de que $AH = BH$ y $BH$ es perpendicular a $BC$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. Por $H$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $DE$ en $F$. Prueba que $\angle BCF = \angle ACD$.