Geometría

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD = BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD = AC$ si y sólo si $\angle{BAC} = 2\angle{ABM}.$

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y, $AD, BE$ y $CF$ sus alturas. La circunferencia con diámetro $AD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $AD$ con $EF$ y $MN$, respectivamente. Demuestra que $Q$ es el punto medio de $PD$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $A$, tal que $AB < AC$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ la intersección de $AC$ con la perpendicular a $BC$ que pasa por $M$. Sea $E$ la intersección de la paralela a $AC$ que pasa por $M$ con la perpendicular a $BD$ que pasa por $B$. Demuestra que los triángulos $AEM$ y $MCA$ son semejantes si y sólo si $\angle ABC = 60°$.

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la bisectriz del ángulo $\angle BAC$, con $D$ sobre $BC$. Sea $E$ un punto sobre el segmento $BC$ tal que $BD=EC$. Por $E$ traza la recta $l$ paralela a $AD$ y considera un punto $P$ sobre $l$ y dentro del triángulo. Sea $G$ el punto donde la recta $BP$ corta al lado $AC$ y sea $F$ el punto donde la recta $CP$ corta al lado $AB$. Muestra que $BF=CG$)

 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto cualquiera sobre el segmento $BC$ ($P \neq B$ y $P \neq C$). Supón que la circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta al segmento $AB$ en $R$ ($R \neq A$ y $R \neq B$) y que la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta al segmento $CA$ en el punto $Q$ ($Q \neq C$ y $Q \neq A$).

• (i) Considera el triángulo $PQR$; muestra que es semejante al triángulo $ABC$ y que su ortocentro es $O$.
• (ii) Muestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO, COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.

Sean $\alpha$ y $\beta$ dos circunferencias tales que el centro $O$ de $\beta$ está sobre $\alpha$. Sean $C$ y $D$ los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto $A$ sobre $\alpha$ y un punto $B$ sobre $\beta$ tales que $AC$ es tangente a $\beta$ en $C$ y $BC$ es tangente a $\alpha$ en el mismo punto $C$. El segmento $AB$ corta de nuevo a $\beta$ en $E$ y ese mismo segmento corta de nuevo a $\alpha$ en $F$. La recta $CE$ vuelve a cortar a $\alpha$ en $G$ y la recta $CF$ corta a la recta $GD$ en $H$. Prueba que el punto de intersección de $GO$ y $EH$ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $DEF$.

Sean $Z,Y$ los puntos de tangencia del incírculo del triángulo $ABC$ con los lados $AB,CA,$ respectivamente. La paralela a $YZ$ por el punto medio $M$ del lado $BC,$ corta a $CA$ en $N$. Sea $L$ el punto sobre $CA$ tal que $NL = AB$ (y $L$ del mismo lado de $N$ que $A$). La recta $ML$ corta a $AB$ en $K$. Muestra que $KA = NC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AD$ paralelo a $BC$, los ángulos en $A$ y $B$ rectos y tal que el ángulo $CMD$ es recto, donde $M$ es el punto medio de $AB$. Sean $K$ el pie de la perpendicular a $CD$ que pasa por $M$, $P$ el punto de intersección de $AK$ con $BD$ y $Q$ el punto de intersección de $BK$ con $AC$. Demuestra que el ángulo $AKB$ es recto y que $$\frac{KP}{PA} + \frac{KQ}{QB} = 1$$
 

Sean $ABCD$ un paralelogramo y $\kappa$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABD$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $\kappa$ con los lados (o sus prolongaciones) $BC$ y $CD$, respectivamente ($E$ distinto de $B$ y $F$ distinto de $D$). Demuestra que el circuncentro del triángulo $CEF$ está sobre $\kappa$.

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sean $E$ un punto en el arco $\widehat{BDC}$ y $F$ un punto en el lado $BC$ tales que
$$\angle BAF = \angle CAE < \frac{1}{2} \angle BAC.$$
Sea $G$ el punto medio del segmento $IF$. Demuestre que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.