Geometría

Dos rayos $l,m$ parten de un mismo punto formando un ángulo $A$, y $P$ es un punto en $l$. Para cada circunferencia $C$, tangente a $l$ en $P$, que corte a $m$ en puntos $Q$ y $R$, $T$ es el punto donde la bisectriz del ángulo $QPR$ corta a $C$. Describe la figura geométrica que forman los puntos $T$. Justifica tu respuesta.

Sean $P, Q, R$ puntos sobre los lados de un triángulo $ABC$ con $P$ en el segmento $BC$, $Q$ en el segmento $AC$ y $R$ en el segmento $BA$, de tal manera que si $A'$ es la intersección de $BQ$ con $CR$, $B'$ es la intersección de $AP$ con $CR$, y $C'$ es la intersección de $AP$ con $BQ$, entonces $AB' = B'C',BC' = C'A'$, y $CA' = A'B'$. Calcule el cociente del área del triángulo $PQR$ entre el área del triángulo $ABC$.

Dados 3 puntos no alineados en el espacio, al único plano que los contiene le llamamos plano determinado por los puntos. ¿Cuál es el mínimo número de planos determinados por 6 puntos en el espacio si no hay 3 alineados y no están los 6 en un mismo plano?

En un triángulo $ABC$, sean $P$ y $P'$ puntos sobre el segmento $BC$, $Q$ en  $CA$ y $R$ sobre $AB$, de forma que $$\frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP'}{P'B}$$
Sean $G$ el centroide del triángulo $ABC$ y $K$ el punto de intersección de las rectas $AP'$ y $RQ$. Demuestre que los puntos $P, G, K$ son colineales.

En la figura se muestra un triángulo acutángulo $ABC$ en el que la longitud de $AB$ es menor que la de $BC$ y la de $BC$ es menor que la de $AC$ . Los puntos $A', B'$ y $C'$ son tales que $AA'$ es perpendicular a $BC$, y la longitud
de $AA'$ es igual a la de $BC$; $BB'$ es perpendicular a $AC$ y la longitud de $BB'$ es igual a la de $AC$; $CC'$ es perpendicular a $AB$ y la longitud de $CC'$ es igual a la de $AB$. Además el ángulo $AC'B$ es de 90 grados. Demuestra que $A', B'$ y $C'$ son colineales.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sean $P$ y $Q$ los puntos de trisección de la diagonal $BD$ (es decir, $P$ y $Q$ son puntos del segmento $BD$ para los cuales las longitudes $BP, PQ$ y $QD$ son todas iguales). Sean $E$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $P$ con el segmento $BC$, y  $F$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $Q$ con el segmento $DC$. Demuestra lo siguiente:
1. Si $ABCD$ es un paralelogramo, entonces $E$ y $F$ son los respectivos puntos medios de los segmentos $BC$ y $CD$.
2. Si $E$ y $F$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente, entonces $ABCD$ es un paralelogramo.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo de manera que los triángulos $ABC,BCD, CDE, DEA$ y $EAB$ son todos de igual área. Demuestra que

$$\frac{1}{4} (ABCDE)<(ABC)<\frac{1}{3} (ABCDE)$$.

(Donde el paréntesis denota el área del polígono dentro de él.)

Sean $A,B,C,D$ vértices consecutivos de un heptágono regular, y $AL$ y $AM$ las tangentes desde $A$ a la circunferencia de centro $C$ y radio $CB$. Si $N$ es la intersección de $AC$ y $BD$, demuestra que los puntos $L, M$ y $N$ son colineales.

Considera 6 puntos en el plano con la propiedad de que 8 de las distancias entre ellos son iguales a 1. Muestra que al menos tres de los puntos forman un triángulo equilátero de lado 1.
 

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo (cada uno de sus ángulos es menor a 180 grados) y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos que se pueden formar con los vértices $A,B,C$ y $D$. Demuestre que no importa qué cuadrilátero convexo se tome, alguno de estos 12 puntos se encuentra sobre un lado del cuadrilátero.