Geometría

Sea ABCD un cuadrado con lado 1 cm. Si M y N son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente. Calcular el área de la zona sombrada.

La figura muestra una cuadrícula formada por 6 cuadrados. ¿Cuanto mide el ángulo CBA?

Consideremos $a$, $b$, $c$ y $d$ cuatro rectas no tres de ellas concurrentes (es decir, un cuadrilátero completo) y no dos de ellas paralelas. Demuestra que son colineales los puntos medios de las tres diagonales del cuadrilátero completo.

Nota: Las diagonales de un cuadrilátero completo son los segmentos que unen un punto de intersección de dos de sus lados con el de los otros dos lados.

Sean P un punto en el interior del triángulo ABC y un ángulo $\alpha$ dado. Los ángulos en la base AB del triángulo ABP miden $x$ y $90-2\alpha$, los ángulos en la base BC del triángulo BCP miden $90-2\alpha$ y $2\alpha-60$, y los de la base CA del triángulo CAP miden $60+\alpha$ y T. Encontrar el valor de $x$ en términos de $\alpha$. (¿Qué condiciones debe cumplir el valor $\alpha$.)

Sean ABC un triángulo, con AB=AC y ángulo en A de 100 grados, y un punto B' en el mismo plano de tal manera que AB'C es equilátero. Encontrar el ángulo ABB'.

Sean $\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4, \pi_5, \pi_6$ tres planos en un espacio proyectivo tridimensional de tal manera que cada uno de los siguientes conjuntos de tres planos tienen una línea común de intersección:

\[\{\pi_1, \pi_2, \pi_3\}, \{\pi_1, \pi_4, \pi_5\}, \{\pi_3, \pi_5, \pi_6\}, \{\pi_2, \pi_4, \pi_6\}\]

Más aun, no cuatro de éstos planos tienen una línea común.

Prueba que los seis planos tienen un punto en común.

Demuestra lo siguiente sobre planos afines:

Supon que el teorema de Desargues es válido en un cierto plano proyectivo $\mathcal{P}$. Prueba que su converso también será válido sin utilizar el Principio de Dualidad.

Considera la tripleta $(\mathcal{P}, \mathcal{L}, \mathcal{I})$ con $\mathcal{P}=\{1,2,3, 4\}$, $\mathcal{L} = \{a, b, c, d, e, f\}$ y $\mathcal{I} = \{(1,a), (2,a), (3,b), (4,b), (1,c), (3,c), (2,d), (4,d), (1,e),(4,e),(2,f),(3,f)\}$.

1. Dibuja un diagrama de esta tripleta.
2. Verifica que esta tripleta satisface únicamente dos de los axiomas de plano proyectivo.

Sea $\pi$ un plano proyectivo. Usa la definición 3.11(la definición de espacio proyectivo pero simplificada) para probar que:

P3'. Existe almenos tres líneas no concurrentes en $\pi$.

P4'. Exiten almenos tres líneas que pasan por cualquier punto en $\pi$.

Deduce que el principio de dualidad es válido en un plano proyectivo.