Geometría

Demuestra que para cuales quiera $S_r$ y $S_n$ espacios proyectivos, el espacio $S_r \oplus S_n $ está formado por aquellos (y sólo aquellos) puntos que se encuentran sobre un línea que une un punto de $S_r$ y uno de $S_n$

Sean $\ell$, $m$ y $n$ tres líneas mutuamente oblicuas (i.e, no dos de ellas se intersectan) en un espacio proyectivo $S_3$ de dimensión 3. Demuestre que por cada punto de $\ell$ pasa una única línea $r$ que intersecta a $m$ y $n$.

Esas líneas son llamadas $(\ell, m, n)$-transversales. El conjunto de $\mathcal{R}$ de todas las $(\ell, m, n)$-transversales es llamado un regulus, y algunas veces es denotado por $\mathcal{R}(\ell, m, n)$. Demuestre que no hay dos $(\ell, m , n)$-transversales distintas que se intersecten.

Dos planos en un espacio proyectivo de dimensión 4, $S_4$, se dice que son oblicuos (skew en inglés) si se intersectan en un sólo punto. Sean $\pi$, $\alpha$ y $\beta$ tres planos mutuamente oblicuos en $S_4$. Demuestra que existe un único plano de $S_4$ que intesecta a cada uno de los planos $\pi$, $\alpha$ y $\beta$ en una recta.

• a) Dualiza el teorema de Papus.
• b) Dibuja la configuración dual.

Sea $ABCD$ un cuadrángulo en el plano Euclideano extendido (PEE). Sea $X = AB \cap CD$, $Y= BD \cap CA$, $Z = AD\cap BC$. El triángulo $XYZ$ es llamado triángulo diagonal.

Dibuja la configuración dual (el cuadrilátero y su trilátero diagonal).

Sean PQ, RS  y TU cuerdas de una circunferencia tales que PQ=RS=TU, y éstas no se intersectan dentro de la circunferencia. UP corta a QR en A, QR corta a ST en B y ST corta a UP en C. Sean L, M y N los puntos medios de PQ, RS y TU respectivamente. Demostrar que AL, BM y CN son concurrentes.

Considera un triángulo ABC y un punto M sobre el lado BC. Sea P la intersección de las perpendiculares a AB por M y a BC por B, y sea Q la intersección de las perpendiculares a AC por M y a BC por C. Muestra que PQ es perpendicular a AM si y sólo si M es punto medio de BC.

Sean ABC un triángulo y AD la altura sobre el lado BC. Tomando a D como centro y a AD como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta AB en P, y corta a la recta AC en Q. Muestra que el triángulo AQP es semejante al triángulo ABC.

 

Sean ABCD un cuadrado y M un punto en el interior de éste. Construir con regla y compás un cuadrado PQRS con sus vértices sobre los lados de ABCD y que M esté sobre alguno de los lados de PQRS.

 Dado un triángulo $ ABC $, sea $I$ su incentro y $ L $ el punto donde la linea $ AI $ intersecta al circuncirculo . Demuestra que $ AL/LI=(AB+AC)/BC.$