Geometría
Equilátero seccionado (3G, take_home_1)
Sea ABC un triángulo equilátero y A’, B’ , C’, puntos sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente, tales que $$AC'/C'B=BA'/A'C=CB'/B'A=2$$ Las intersecciones de los segmentos AA’, BB’ y CC’ determinan un triángulo interior, digamos, DEF.
Una propiedad trivial de la potencia de un punto
Sean dados tres puntos distintos O, P, Q en el plano. Demostrar que OP=OQ si y sólo si P y Q tienen la misma potencia respecto a un círculo cualquiera con centro en O.
IMO 2009 Problema 2
Sean ABC un triángulo de circuncentro O, P y Q puntos sobre AB y AC, respectivamente, y K, L, M los puntos medios de BQ, CP y PQ, respectivamente. Si el circuncírculo del triangulo KLM es tangente a PQ, demostrar que OP=OQ.
IMO 2009 Problema 4
En un triángulo $ ABC $, donde $AB=AC$, los bisectrices internas de $\angle{A}$ y $\angle{B}$ cortan a los lados $ BC $ y $AC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $I$ el incentro del triángulo $ADC$. Supongamos que $\angle{IEB}=45$. Encontrar todos los valores posibles de $\angle{A}$.
Probar isósceles
En una semicircuferenica de diámetro AB se elige un punto D y se baja una perpendicular al diámetro AB cortándolo en C. En el espacio descrito por DC, CB y el arco BD se inscribe un círculo tangente a CD en L, a BC en J y al arco BD en K. Demostrar que AD=AJ.
Potencia de un punto y circunferencias ortogonales
Sean dados una circunferencia c de radio r y centro O, y dos puntos M y M' tales que $OM\cdot OM'=r^2$ (i.e., inversos uno del otro respecto a c). Demostrar que cualquier circunferencia c' que pase por M y M' es ortogonal a c.
Condición necesaria y suficiente para cíclicos
Sea PQRS un cuadrilátero tal que sus lados opuestos PR y QS se cortan en un punto T. Demostrar que PQRS es cuadrilátero cíclico si y sólo si $TR\cdot TP=TS\cdot TQ.$
El lugar geométrico de la reflexión de un punto
Sean $ P$ un punto en el interior de una circunferencia $\mathcal{C}$ y $ M$ un punto sobre $\mathcal{C}$. Definamos $ N$ el punto sobre $\mathcal{C}$ tal que el ángulo $\measuredangle MPN = 90^{\circ}$ (en sentido contrario de las manecillas del reloj). Llamemos $P'$ el punto que resulta de reflejar $ P$ con respecto a $MN$.
Construcción de una circunferencia ortogonal
Sea dada una circunferencia $c$. Demostrar que el siguiente procedimiento produce una circunferencia ortogonal a $c$ con centro en un punto $P$ fuera de $c$.
1) Trazamos las tangentes a $c$ desde $P$ ubicando los puntos de tangencia $T$ y $T'$.
2) Trazamos la circunferencia con centro en $P$ y radio $PT$. Esta es la circunferencia ortogonal pedida.
Caracterización del eje radical
Demostrar que el eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que cumplen la propiedad de que el producto de la suma por la diferencia de sus distancias a los centros es una constante.