Geometría

El área del triángulo $ABC$ es un entero. Sobre los lados $BC$ y $AC$ se eligen los puintos $X$ y $Y$, respectivamente. Los segmentos $AX$ y $BY$ se cortan en un punto $P$ dentro del triángulo $ABC$. El área de $BPX$ es 1, la de $APY$ es 2, y la de $APB$ es un entero. Encontrar el área del triángulo $ABC.$

Sea ABC un triangulo, M el punto medio de CA, P el punto donde la bisectriz desde C intersecta a AB; E y Q son los puntos donde una ceviana desde A intersecta a la bisectriz y al lado BC, respectivamnete (Q no esta en la prolongacion de BC). Demuestra que los segmentos PQ y CQ son iguales, si y solo si B, E y M son colineales.

Sea ABCD un cuadrilátero para el cuál existen cuatro puntos P, Q, R y S sobre los lados AB, BC, CD y DA respectivamente y tales que PB=BQ, QC = CR, RD = DS y  SA = AP. Demuestra que:

• a) El cuadrilátero ABCD es circunscrito
• b) El cuadrilátero PQRS es cíclico.

Sean ABC un triángulo isósceles rectángulo en A, J su incentro y AD, BE las bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente. La altura AD es tangente al incírculo del triángulo ADC (con incentro en I) en P y al lado CA en Q. Demostrar que:

Sea ABC un triángulo equilátero y A’, B’ , C’, puntos sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente, tales que $$AC'/C'B=BA'/A'C=CB'/B'A=2$$ Las intersecciones de los segmentos AA’, BB’ y CC’ determinan un triángulo interior, digamos, DEF.

Sean dados tres puntos distintos O, P, Q en el plano. Demostrar que OP=OQ si y sólo si P y Q tienen la misma potencia respecto a un círculo cualquiera con centro en O.

Sean ABC un triángulo de circuncentro O, P y Q puntos sobre AB y AC, respectivamente, y K, L, M los puntos medios de BQ, CP y PQ, respectivamente. Si el circuncírculo del triangulo KLM es tangente a PQ, demostrar que OP=OQ.

En un triángulo $ABC$, donde $AB=AC$, los bisectrices internas de $\angle{A}$ y $\angle{B}$ cortan a los lados $BC$ y $AC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $I$ el incentro del triángulo $ADC$. Supongamos que $\angle{IEB}=45$. Encontrar todos los valores posibles de $\angle{A}$.

En una semicircuferenica de diámetro AB se elige un punto D y se baja una perpendicular al diámetro AB cortándolo en C. En el espacio descrito por DC, CB y el arco BD se inscribe un círculo tangente a CD en L, a BC en J y al arco BD en K. Demostrar que AD=AJ.

Sean dados una circunferencia c de radio r y centro O, y dos puntos M y M' tales que $OM\cdot OM'=r^2$ (i.e., inversos uno del otro respecto a c). Demostrar que cualquier circunferencia c' que pase por M y M' es ortogonal a c.