Geometría

Considera un triángulo ABC y un punto M sobre el lado BC. Sea P la intersección de las perpendiculares a AB por M y a BC por B, y sea Q la intersección de las perpendiculares a AC por M y a BC por C. Muestra que PQ es perpendicular a AM si y sólo si M es punto medio de BC.

Sean ABC un triángulo y AD la altura sobre el lado BC. Tomando a D como centro y a AD como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta AB en P, y corta a la recta AC en Q. Muestra que el triángulo AQP es semejante al triángulo ABC.

 

Sean ABCD un cuadrado y M un punto en el interior de éste. Construir con regla y compás un cuadrado PQRS con sus vértices sobre los lados de ABCD y que M esté sobre alguno de los lados de PQRS.

 Dado un triángulo $ABC$, sea $I$ su incentro y $L$ el punto donde la linea $AI$ intersecta al circuncirculo . Demuestra que $AL/LI=(AB+AC)/BC.$

El incírculo del triángulo $\triangle ABC$ es tangente al lado $AB$ en el punto $P$ y al lado $BC$ en el punto $Q$. El círculo que pasa por los puntos $A,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $BC$ en $M$ y el círculo que pasa por los puntos $C,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $AB$ en el punto $N$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$.  Sean $I$ el incentro de $ABC$ y $P$ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A$ con el circuncírculo de $ABC$. La recta $PI$ intersecta por segunda vez al circuncírculo de $ABC$ en el punto $J$. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, con el mismo radio, que se cortan en $A$ y en $B$. Sea $P$ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C$, la recta $CB$ corta a $C_2$ en $D$ y la bisectriz del $\angle CAD$ intersecta a $C_1$ en $E$ y a $C_2$ en $L$. Sea $F$ el punto simétrico a $D$ con respecto al punto medio de $PE$. Demostrar que existe un punto $X$ que satisface $\angle XFL = \angle XDC = 30^\circ$ y $CX = O_1O_2$.

En un triángulo isósceles AOB, rectángulo en O, se eligen los puntos P,Q,S en los lados OB,OA,AB, respectivamente, y un punto R interior al triángulo, de tal manera que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado. Si la razón de áreas entre el cuadrado y el triángulo es 2/5, calcular la razón OP/OQ.

En un cubo de arista 6 los puntos medios B,D de dos aristas opuestas, y dos vértices opuestos A,C pero no en las aristas de los puntos medios B,D,  forman un cuadrilátero ABCD. Encontrar el área de ese cuadrilátero.

Sea $$BC$ el diametro de una semicirculo y sea $A$ el punto medio del semicirculo. Sea M un punto sobre el arco $AC$. Seam $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares desde $A$ y C a la linea $BM$, respectivamente.

Demustra que $BP=PQ+QC$