Geometría

Tomando como diámetros los lados AB y AC del triángulo ABC, se trazan sendos círculos. Demostrar que su otro punto de intersección (aparte de A) está sobre el lado BC.

Cualesquiera dos vértices de un triángulo son concíclicos con los pies de sus alturas.

Sea $ABCD$ un cuadrilatero convexo con $BC=DA$ y además las rectas $BC,DA$ no son paralelas. Consideremos dos puntos variables $E,F$ sobre $BC, DA$ respectivamente, que satisfacen $BE=DF$ . Sea $P$ la interseccion de $AC, BD.$  Las rectas $BD$ y $EF$ se intersectan en $Q$ y las rectas $AC$ y $EF$ se intersectan en $R$.

Sea AB diametro de una semicircunferencia. Un punto M sobre la semicircunferencia y K un punto spbre AB. Una circunferencia con centro P pasa por A,M,K, y otra circunferencia de centro Q pasa por M,K,B. Demostrar que MPKQ es un cuadrilatero ciclico. 

Considera un triangulo $ABC$ Con $BD$ su bisectriz interna ( $D$ sobre $AC$) Sea $E$ el punto donde se intersectan $BD$ y el circuncirculo del triangulo $ABC$. El circulo de diametro $DE$ corta al circuncirculo del triangulo $ABC$ en los puntos $D,F$ demuestra que $BF$ es la simediana del triangulo $ABC$

Sea $MN$ una línea paralela al lado $BC$ del triángulo $ABC$, con $M$ sobre el lado $AB$ y $N$ sobre el lado $AC$. Las íineas $BN$ y $CM$ se intersectan en un punto $P$. Los circuncírculos de los triángulos $BPM$ y $CPN$ se intersectan en $P$ y $Q$. Demostrar que $\angle{BAQ}=\angle{CAP}$

Sea ABCD un cuadrado de centro O. Sean P, Q, R y S puntos en DA, AB, BC y CD, repectivamente,  tales que P,O y R son colineales; y Q, O y S también lo son (colineales), y de manera que  PR es perpendicular a QS. Demostrar que el cuadrilátero PQRS es un cuadrado.   

Los puntos medios $L,M,N,O$ de los lados $QR,RS,SP,PQ$ de un cuadrado $PQRS$ se unen con con un segmento de recta a los vértices de éste de manera que se forme un cuadrado $P'Q'R'S'.$ Calcular la razón de áreas de los dos cuadrados.

Un triángulo rectángulo isósceles, con lados iguales de medida 2,  ha sido recortado de una hoja de papel que es gris de un lado y cuadriculada del otro.

Una recta en el plano cartesiano pasa por el punto (3,0) y es tangente al círculo con centro en el origen de coordenadas y radio 1. Encontrar el punto en que la recta corta el eje vertical (de ordenadas).