Geometría

Las bisectrices internas de los ángulos A, B y C de un triángulo ABC concurren en I y cortan
al circuncírculo de ABC en L, M y N, respectivamente. La circunferencia de diámetro IL,
corta al lado BC, en D y E; la circunferencia de diámetro IM corta al lado CA en F y G;
la circunferencia de diámetro IN corta al lado AB en H y J. Muestra que D, E, F, G, H,
J están sobre una misma circunferencia.

Un triangulo $ABC$  tiene ortocentro $H$. La circunferencia con centro en el punto medio de $BC$, que pasa por $H$, corta a la recta $BC$ en $A_1$y$A_2$, de manera similar se definen los puntos $B_1,B_2$ en la recta $CA$ y $C_1,C_2$ en la recta $AB$. Demuestra que los puntos $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ estan en una misma circunferencia.

Sean ABC un triángulo y AP, AQ las tangentes desde A a la circunferencia de diámetro BC (P y Q los puntos de tangencia). Muestra que el ortocentro H de ABC está sobre PQ.

Sea ABC un triángulo de circuncentro O, sea M el punto medio de AB y E el gravicentro del triángulo AMC. Demostrar que OE y CM son perpendiculares si y sólo si AB=AC

Para un triángulo $ABC$, toma los puntos $M$ y $N$ en las extensiones de AB y CB, respectivamente de tal manera que $M$ y $N$ estén más cerca de $B$ que de $A$ y $C$, y que $AM=CN=s$ donde $s$ denota el semiperímetro. Sea $K$ el punto diametralmente opuesto a $B$ e $I$ el incentro del triángulo $ABC$.

Inscribir un triángulo equilátero en un triángulo equilátero $ABC$, de tal manera que cada lado del inscrito sea perpendicular a un lado del triángulo $ABC$. (Describir el procedimiento de construcción.)

En  la figura el segmento $BC$  une  los centros de los círculos tangentes, $AB$ es perpendicular a $BC, BC =8$ , y $AC =10$. Calcular el área de cada círculo.

Sean $D$ en $AB$ y $E$ en $AC$, los extremos de un segmento tangente al incírculo del triángulo $ABC$. Si los lados $AB, BC, CA$ miden, respectivamente, $c, a, b$, expresar el perímetro del triángulo ADE en términos de $a, b, c$.

Un rombo de lado $2m$ tiene un ángulo de $30^\circ$. ¿Cuánto vale su área?

Expresar el radio $r$ del incírculo de un triángulo rectángulo isósceles en términos del cateto $c$.