Geometría
Problema 2 de la OMM 2008
Considera una circunferencia $\Gamma$, un punto A fuera de $ \Gamma $ y las tangentes AB, AC a $ \Gamma $ desde A, con B y C los puntos de tangencia. Sea P un punto sobre el segmento AB, distinto de A y de B. Considera el punto Q sobre el segmento AC tal que PQ es tangente a $ \Gamma$, y a los puntos R y S que están sobre las rectas AB y AC, respectivamente, de manera que RS es paralela a PQ y tangente a $\Gamma$. Muestra que el producto de las áreas de los triángulos APQ y ARS no depende de la elección del punto P.
Muestra que el producto de las áreas de los triángulos APQ y ARS no depende de la elección del punto P.
Trisección de un segmento y triángulos equilateros
Sea $ ABC $ un triángulo equilatero, $ M $ el punto medio de $ BC $. Considera $ P $ y $ Q $ los dos puntos fuera del triángulo $ ABC $ tales que los triángulos $ BMP $ y $ MQC $ son equilateros. Llamemos $ S $ y $ T $ a los puntos de intersección de $ AP $ y $ AQ $ con el segmento $ BC $ respectivamente. Demuestra que $ S $ y $ T $ trisectan al segmento $ BC $.
Un ejercicio clásico de potencias
En la siguiente figura, desde un vértice del cuadrado está trazada una tangente. El lado del cuadrado mide 1 y la longitud de la tangente es 2. Encuentra el radio de la circunferencia.
Construir un cuadrado con tres puntos dados
Se tienen dados, un vértice V de un cuadrado y dos puntos A y B. Los puntos A y B se encuentran sobre dos lados (o prolongaciones de los lados) del cuadrado antes mencionado. Estos dos lados son precisamente los opuestos al vértice V, es decir, los que no lo contienen.
Usando regla y compás, construye el cuadrado.
— Problema sugerido por Hugo Espinosa Pérez 10/Oct/2008 15:07
Un problema de igualdad de areas
Sean $ABCD$ un paralelogramo, $ E $ un punto sobre la recta $AB$, mas allá de $ B $, $ F $ un punto sobre la recta $AD$, mas allá de $ D $, y $ K $ el punto de intersección de las rectas $ED$ y $BF$. Demuestre que los cuadriláteros $ABKD$ y $CEKF$ tienen la misma área.
Linea media bisectriz y cuerda
La cuerda del incírculo del triángulo ABC, definida por los puntos de tangencia P y Q en los lados b y c respectivamente, concurre con la línea media de los lados a y b y la bisectriz del ángulo B.
Menelao en monterrey 97
En un triángulo ABC, P y P' son dos puntos sobre el lado BC, Q sobre CA y R sobre AB, de tal manera que AR/RB = BP/PC = CQ/QA = CP'/P'B. Sea G el centroide del triángulo ABC y K el punto de intersección de AP' con RQ. Demostrar que P, G y K son colineales.
Dos segmentos iguales
Se tiene un triángulo agudo; en el cual existen dos círculos con diámetros AB y BC. Sean los puntos E y F donde cortan dichos círculos al otro respectivo lado. Se construyen las rectas AE y CF y los puntos P y Q donde ellas cortan a los círculos
Demostrar que BQ = BP
alturas de un paralelogramo y areas
Un paralelogramo ABCD tiene el angulo en D obtuso. Desde D se bajan perpendiculares a AB y BC, las cuales cortan a estos lados en M y N respectivamente. Si DB=DC=50 y DA=60 encontrar DM+DN.
alturas de un paralelogramo y areas
Un paralelogramo ABCD tiene el ángulo en D obtuso. Desde D se bajan perpendiculares a AB y BC, las cuales cortan a estos lados en M y N respectivamente. Si DB=DC=50 y DA=60 encontrar DM+DN.