Geometría
Método 2 loci (dos lugares)
Trazar una circunferencia que sea tangente a los tres lados de un triángulo.
Cuadrados en cada lado y concurrencia.
Sobre los lados del triángulo ABC se han dibujado los cuadrados $ \mathcal{C}_A $, $ \mathcal{C}_B $ y $ \mathcal{C}_C $, de tal manera que un lado del cuadrado es un lado del triángulo y el cuadrado no traslapa al triángulo. El cuadrado $ \mathcal{C}_A $ se encuentra sobre BC; $ \mathcal{C}_B $ sobre AC; y $ \mathcal{C}_C $ sobre AB.
Problema de cíclicos
En un triángulo acutángulo, el círculo de diámetro AB intersecta la altura CE y su extensión en M y N, y el círculo de diámetro AC intersecta la altura BD y su extensión en P y Q. Probar que los puntos M, N, P, Q están sobre una misma circunferencia.
(Nota:Este problema es una extensión del problema dos segmentos iguales.)
Bisectriz, ángulo recto y conjugados armónicos
Consideremos P y Q un par de puntos conjugados armónicos con respecto a A y B, P dentro d
Problema de Excalibur Probleam Corner 309
En un triángulo acutángulo ABC donde AB < AC. Sea H el pie de la perpendicular de A sobre BC y M el punto medio de AH. Sea D el punto de tangencia del incirculo del triangulo ABC en BC. La linea DM intersecta por segunda vez al incirculo en N. Probar que los angulos BND y CND son iguales.
Cuerda del incírculo, una mediana y una perpendicular
Sean P, Q y R los puntos donde la circunferencia inscrita del triángulo ABC toca a los lados BC, CA y AB respectivamente. Llamemos M al punto medio de BC.
Para trabajar semejanza
Geometría analítica, un legado cartesiano
Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos distintos sobre una recta, en ese orden. Los círculos de diámetros $AC$ y $BD$ se intersectan en los puntos $X$ y $Y$. La recta $XY$ corta a $BC$ en el punto $Z$. Sea $P$ un punto sobre la recta $XY$, y diferente de $Z$. La recta $CP$ intersecta al círculo de diámetro $AC$ en los puntos $C$ y $M$, y la recta $BP$ intersecta el círculo de diámetro $BD$ en los puntos $B$ y $N$. Demostrar que las rectas $AM$, $DN$ y $XY$ son concurrentes.
Diferencia de cuadrados constante
Dados dos puntos A y B, determinar el lugar geométrico de los puntos P en el plano tal que:
$PA^2 - PB^2 = constante$
Simediana, línea media y pies de alturas
Consideremos un triángulo cualquiera ABC. Llamemos P y Q los pies de las alturas trazadas desde B y C respectivamente. Consideremos también $\mathcal{M} $ la línea media opuesta al vértice C; y consideremos $\mathcal{L}$ la simediana trazada desde B. Demuestra que las líneas PQ, $\mathcal{M}$ y $\mathcal{L}$ concurren.