Geometría

Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los puntos donde la circunferencia circunscrita es tangente al lado $BC$, $CA$ y $AB$. Llamemos $D'$ el punto donde la recta $EF$ corta a la recta $AB$. Demuestra que:

a) $D'$ es el conjugado armónico de $D$ con respecto al segmento $AB$.

b) Que la recta $AD$ es la polar de $D'$ respecto al incírculo.

Sea ABCD un cuadrilatero tal que los angulos internos en los vertices A, B, y C son de cuarenta y cinco grados. Demostrar que los puntos medios de los lados del cuadrilatero determinan un cuadrado.

Propuesto por: Fernando

Considere $\mu$ un segmento paralelo a las bases $a$ y $b$ de un trapecio, de tal manera que $\mu$ pasa por el punto de intersección de las diagonales y sus extremos están sobre los lados del trapecio. Demostrar que $\mu$ es la media armónica de $a$ y $b$, es decir: \mu = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

Tres círculos $C_1, C_2, C_3$ del mismo radio se intersectan no tangencialmente en un punto $P$. Sean $A, B$ los centros de $C_1, C_2$, respectivamente;  y $C, D$ los puntos de intersección de $C_1, C_2$, respectivamente, con $C_3$. ($C, D$ son ambos diferentes de $P$.) Demostrar que $ABCD$ es un paralelogramo.

Considere  $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ tres circunferencia que por pares son tangentes externas. Llamemos $P$ y $Q$ los puntos de tangencia de $\mathcal{C}_1$ con $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ respectivamente.

Sean $C_1, C_2, C_3$ tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos. Definamos los siguientes puntos; $R=C_1 \cap C_2$ $S=C_1 \cap C_3$ y $T=C_2 \cap C_3$ , sean $X, Y$ los puntos sobre $C_2, C_3$ de modo que $XY$ sea la tangente comun y esta no pase por $C_1$. Sea $J$ la interseccion de la tangente a $C_1, C_2$ por $R$ y a la tangente comun a $C_1, C_3$ por $S$.

Demuestra que para cualquier trapecio ABCD, las áreas de las triángulos sombreados son iguales.

Sea $A_1, A_2, \dots, A_n$ los $n$ vértices de un polígono regular con circunferencia circuncrita de radio $R$, Demuestra que:

Consideremos $A'$, $B'$ y $C'$ tres puntos en el exterior del triángulo $ABC$, de tal manera que los triángulos $A'BC$, $AB'C$ y $ABC'$ son todos isósceles semejantes y de bases BC, CA y AB respectivamente, Demuestra que $AA'$, $BB'$ y $CC'$ concurren.

Este es un problema con la misma figura del triángulo de napoleón.

Consideremos los puntos $A'$,  $B'$ y $C'$ puntos fuera del triángulos $ABC$ de tal manera que los triángulos $A'BC$, $AB'C$ y $ABC'$ son equiláteros. Demuestra que $AA'$, $BB'$ y $CC'$ concurren y son de la misma longitud.