Geometría

Dos circunferencias de radios $R$ y $r$ son tangentes exteriormente. Encontrar la longitud de su tangente común en términos de los radios.

Dos circunferencias de radios 9 y 4 son tangentes exteriormente. Encontrar la longitud de su tangente común.
 

Calcular el radio del incírculo de un triángulo cuyos lados miden 3,4,5.

Sobre el lado $AB$ del cuadrado $ABCD$, se traza un triángulo equilátero externo $ABE$. Calcular la medida del ángulo $AED.$
 

En un triángulo $ABC$ los lados $AC$ y $BC$ son iguales. Un punto $D$ en el lado $BC$ es tal que los triángulos $ABD$ y $ACD$ son isósceles. Si $AD=AB$ ¿cuánto mide el ángulo en $B$?

En un círculo de centro $O$ y radio $5k$, se traza un cuadrado. Uno de sus lados es cuerda de la circunferencia y el lado opuesto a la cuerda pasa por el centro $O$. Calcular la longitud del lado del cuadrado en términos de $k$.
 

Sean H,O el ortocentro y circuncentro del triangulo ABC con AB distinto de AC. Sea T la circunferencia circunscrita al triangulo ABC. La prolongacion de la mediana AM del triangulo ABC, corta a T en el punto N y la circunferencia de diametro AM corta a T en los puntos A y P. Demuestra que las rectas AP, BC y OH son concurrentes si y solo si AH=NH

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $AB$  menor que $AC$. Sean $D,E,F$  los puntos de tangencia del incírculo con los lados $BC,CA, AB$, respectivamente. Sean $H$  la intersección de $BI$ con $EF$, y $G$ la intersección de $CI$ con $EF.$ 

a) Demostrar que $I$ es el incentro del triángulo $DGH.$

b) Demostrar que las rectas $BG$ y $CH$ concurren sobre la perpendicular a $BC$ que pasa por $D.$

En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$  mide el doble que el $C$. Se traza la mediana $BD$ al lado $CA$ ($D$ es punto medio de $CA$). Si el ángulo $DBC$ es igual al ángulo en $A$, calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$.

En un triangulo $ABC$ donde $AD$ es la altura ($D$ sobre $BC$)sea $P$ cualquier punto sobre $AD$, Y sean $E,F$las intercecciones de $BP,CP$ con $AC,AB$ respectivamente. Entonces se cumple que $AD$ es la bisectriz del angulo $EDF$