Geometría
P8. OMM 1988. Esfera en octaedro
Calcule el volumen del octaedro que circunscribe a una esfera de radio 1.
P3. OMM 1988. Área de triángulo de tangentes comunes
Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
P8. OMM 1987. El último de la primera nacional (de geometría tridimensional)
- Tres rectas en el espacio l, m, n concurren en el punto S y un plano perpendicular a m corta a l, m, n en A, B y C respectivamente. Suponga que los ángulos ASB y BSC son de 45° y que el ángulo ABC es recto. Calcule el ángulo ASC.
- Si un plano perpendicular a l corta a l, m, n en P, Q y R respectivamente y si SP = 1, calcule los lados del triángulo PQR.
P5. OMM 1987. Triángulo rectángulo y tres área iguales imposibles
Considere un triángulo rectángulo ABC donde la hipotenusa es BC. M un punto en BC; P y Q las proyecciones de M en AB y BC, respectivamente. Pruebe que, para ninguno de tales puntos M, son iguales las áreas de BPM, MQC y AQMP (las tres al mismo tiempo).
P3. OMM 1987. Lugar geométrico de la proyección de un punto
Considere dos rectas $\ell$ y $\ell'$ y un punto fijo P que diste lo mismo de $\ell$, que de $\ell'$. ¿Qué lugar geométrico describen los puntos M que son proyección de P sobre AB, donde A está en $\ell$, B está en $\ell'$, y el ángulo APB es recto.
Circunferencias inscritas en ángulo e isósceles
Dos circunferencias están inscritas entre los lados de un triángulo isósceles $ABC$ (con $AB=AC$) y los de un ángulo, uno de los cuales pasa por A y el otro incluye la base $BC$ del isósceles. Encontrar la relación entre la altura de $A$ respecto a la base $BC$ y los radios de las circunferencias.
Círculos internamente tangentes
Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ dos círculos tangentes internamente en $A$ y con centros $O$ y $O_1$, respectivamente. Sea $B$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto al punto $A$, y $C$ un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Suponiendo que $O_1A'$ es paralela a $AP$, calcular la razón $r/r_1$.
Tangente al circuncírculo
En el triángulo $ABC$, $L,M,N$ son los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. La tangente por $A$ al circuncírculo de $ABC$, corta en $P$ y $Q$ a las rectas $LM$ y $LN$, respectivamente. Demostrar que $CP$ es paralela a $BQ$.
Trapecio isósceles
Sea dado un trapecio isósceles ABCD. Demostrar:
Si la altura y la línea media (unión de los puntos medios de sus lados) son congruentes entonces sus diagonales son perpendiculares.
Decir también si la recíproca se cumple (con prueba o contraejemplo).
Distancia a la otra tangente común
Considere dos circunferencias de radios $r$ y $R$, y centros $B$ y $C$, respectivamente. Demostrar que si $A$ es un punto sobre una tangente externa común a las dos circunferencias, y es equidistante a los centros de éstas, entonces la distancia de $A$ a la otra tangente externa común es $r+R$.