Geometría

Sean $L,M,N$ puntos sobre los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$, y las cevianas $AL,BM,CN$ concurrentes en el punto P. Calcular el valor numérico de las sumas de razones siguientes:

$$\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{CN}$$

$$\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}$$

Dado el triángulo $ABC$, se consideran los puntos $D$, $E$, y $F$ sobre los segmentos $BC$, $AC$, y $AB$, respectivamente. Demostrar que si los segmentos $AD$, $BE$, y $CF$ pasan por el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, de radio $R$, entonces

$\displaystyle \frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF} = \frac{2}{R}$.

Un punto $P$ en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ es tal que $PC=3, PA=4, PB=5$. Calcular el perímetro del triángulo $ABC$.

Demostrar que si el lado AB del triángulo ABC es girado un ángulo $\alpha$
respecto al vértice C, y como resultado se obtiene el triángulo A'B'C, entonces las rectas AB y A'B' se intersectan en un ángulo $\alpha$. (Equivalentemente, si P es el punto de intersección, entonces el cuadrilátero PACA' es cíclico.)

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $B$. Sean $D$ el pie de la altura desde $B$, $E$ el punto medio de $CD$ y $F$ un punto sobre la recta por $A$ y $B$ de manera que $BA=AF$. Muestra que las rectas $BE$ y $FD$ son perpendiculares.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo e isósceles, con $AC=AB$. Sean $O$ su circuncentro e $I$ su incentro. Si $D$ es el punto de intersección de $AC$ con la perpendicular  a $CI$ que pasa por $O$, demuestra que $ID$ y $AB$ son paralelas. (Tzaloa, 2010,1, p.36)

El pentágono ABCDE es tal que AB=BC y CD=DE, y sus ángulos en A,C, y E son rectos. Encontrar la medida del ángulo ECA.

El triángulo ABC es rectángulo en C, y las bisectrices de sus ángulos en A y B cortan los lados BC y CA en P y Q respectivamente. Los puntos M y N sobre el lado AB son los pies de las perpendiculares bajadas desde P y Q, respectivamente. ¿Cuánto vale el ángulo MCN?
 

Se tiene inscrito en una circunferencia un 3n-agono regular, donde sus vertices son $A_{1},A_{2},...,A_{3n}$ Si se coloca un punto $P$ de manera arbitraria sobre sobre la circunferencia, y desde $P$ se trazan todas las rectas posible hacia todos los puntos $A_{i}$. Demostrar que: la suma de las n rectas trazadas mas grande, es igual a la suma de las 2n rectas mas pequeñas.

Discutir la ecuación $xy=4y$ y, en particular, determina su gráfica.