Geometría

Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus vértices se denotan consecutivamente por $A, B, C, D$. Se supone que existe una semicircunferencia con centro en $AB$, tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.

• i) Demostrar que $AB = AD + BC$.
• ii) Calcular, en función de $x = AB, y = CD$, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero que satisface las condiciones del enunciado.

Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos en el plano. Denotemos por $m (PQ)$ la mediatriz del segmento $PQ$. Sea $S$ un subconjunto finito del plano, con más de un elemento, que satisface las siguientes propiedades:

• a) Si $P$ y $Q$ están en $S$, entonces $m (PQ)$ intersecta a $S$.
• b) Si $P_1Q_1, P_2Q_2, P_3Q_3$ son tres segmentos diferentes cuyos extremos son puntos de $S$, entonces no existe ningún punto de $S$ en la intersección de las tres líneas $m(P_1Q_1), m(P_2Q_2),m(P_3Q_3$).

Determine el número de puntos que puede tener $S$.

 Muestre que, para cualquier polígono convexo de área uno, existe un paralelogramo de área 2 que lo contiene.

A partir del triángulo $T$ de vértices $A, B, C$, se construye el hexágono $H$ de vértices $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ como se muestra en la figura. Demostrar que

Se dan la circunferencia $\Gamma$ y los números positivos $h, m$ de modo que existe un trapecio $ABCD$, inscrito en $\Gamma$, de altura $h$ y tal que la suma de sus bases $AB$ y $CD$ es $m$. Construir el trapecio $ABCD$.

 En un triángulo equilátero $ABC$, cuyo lado tiene longitud 2, se inscribe la circunferencia $\Gamma$.

• a) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices $A, B$ y $C$ es 5.
• b) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $AP, BP$ y $CP$, y cuya área es $\sqrt{3}/4$

Dados 3 puntos no alineados $M, N, P$, sabemos que $M$ y $N$ son puntos medios de dos lados de un triángulo y que $P$ es el punto de intersección de las alturas de dicho triángulo. Construir el triángulo.

Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen cada una área igual a 1. Demostrar que el área del cuadrado es cuatro.

Sean $C_1$ una circunferencia, $AB$ uno de sus diámetros, $t$ su tangente en $B$, y $M$ un punto de $C_1$ distinto de $A$. Se construye una circunferencia $C_2$ tangente a $C_1$ en $M$ y a la recta $t$.

• a) Determinar el punto $P$ de tangencia de $t$ y $C_2$ y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias al variar $M$.
• b) Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias $C_2$.

NOTA: Dos circunferencias son ortogonales si se cortan y las tangentes respectivas en los puntos de intersección son perpendiculares.

En un triángulo $ABC$, sean $I$ el centro de la circunferencia inscrita y $D, E$ y $F$ sus puntos de tangencia con los lados $BC, AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $P$ el otro punto de intersección de la recta $AD$ con la circunferencia inscrita. Si $M$ es el punto medio de $EF$, demostrar que los cuatro puntos $P, I, M$ y $D$ pertenecen a una misma circunferencia.