Geometría

En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestre que $\angle{EMD} = \angle{DMF}$.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC, AC$ y $AB$ en los puntos $X, Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ intersectan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.

Demostrar que si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$, y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M, D$ y $C$ están alineados.

Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de centro $O$. Las alturas del triángulo son $AD, BE$ y $CF$. La recta $EF$ corta a la circunferencia en $P$ y $Q$.

• a) Pruebe que $OA$ es perpendicular a $PQ$.
• b) Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $AP^2 = 2AD\cdot OM$

  La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. $AD$ corta a la circunferencia en un segundo punto $Q$. Demostrar que la recta $EQ$ pasa por el punto medio de $AF$ si, y solamente si, $AC = BC$.

 El ángulo $A$ del triángulo isósceles $ABC$ mide 2/5 de recto, siendo iguales sus ángulos $B$ y $C$. La bisectriz de su ángulo $C$ corta al lado opuesto en el punto $D$. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo $BCD$. Expresar la medida $a$ del lado $BC$ en función de la medida $b$ del lado $AC$, sin que en la expresión aparezcan razones trigonométricas

Sea $OXYZ$ un triedro trirrectángulo de vértice $O$ y aristas $X, Y, Z$. Sobre la arista $Z$ se toma un punto fijo $C$, tal que $OC = c$. Sobre $X$ y $Y$ se toman respectivamente dos puntos variables $P$ y $Q$ de modo que la suma $OP + OQ$ sea una constante dada $k$. Para cada par de puntos $P$ y $Q$, los cuatro puntos $O, C, P, Q$ están en una esfera, cuyo centro $W$ se proyecta sobre el plano $OXY$. Razonar cuál es el lugar geométrico de esa proyección. Razonar también cuál es el lugar geométrico de $W$.

Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura

De ellos se han destacado $A$ y $D$. Se pide fijar,de todos los modos posibles, otros dos puntos $B$ y $C$ con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:

Justificar razonadamente que, en cualquier triángulo, el diámetro de la circunferencia inscrita no es mayor que el radio de la circunferencia circunscrita.

Se tienen $n$ puntos distintos $A_1, A_2,\ldots,A_n$ en el plano y a cada punto $A_i$ se ha asignado un número real $\lambda$ distinto de cero, de manera que $\overline{A_iA_j}^2=\lambda_i+\lambda_j$, para todos los $i,j,i\neq j$
 Demuestre que
(a) $n\leq 4$
(b) Si $n = 4$, entonces $\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_4}=0$