Problemas - Teoría de números
3.- Orquesta Matemática
Sea $n>1$ un entero y sea $d_1 < d_2 < \dots < d_m$ la lista completa de sus divisiores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocará una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos), donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S = s_1 + s_2 + \cdots + s_m $.
1.- Números Tlahuicas
Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que
$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:
- 0 < x < 1
- existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.
Sin miedo al factorial
Determina el menor entero positivo n tal que para todo entero positivo u se cumple que n + u! sea un número de al menos 4 divisores
Múltiplos de 9 con restricciones
¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?
Problema 5 Estatal 2022
Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x,n) tales que:
(3)(2x) + 4 = n2
El 3 del estatal 2022
Encuentra todos los valores para n de tal forma que la expresión
6n+1
sea un número con todos sus dígitos iguales.
El número de Belmaris
André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?
Práctica de módulos
Problema técnico de primos
Encuentra la suma de los números primos que dividen a todos los números de 3 dígitos con todos ellos iguales.
Piezas rectangulares con área 240
Se van a construir piezas rectangulares de área 240 cm2 y con ambos lados entero. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer?