Publicaciones Recientes
Una propiedad elemental de la divisibilidad
Voy a discutir en este post una propiedad de la divisibilidad que surge cuando la suma de dos números es múltiplo de un primo. Se le podría llamar propiedad de transferencia de la divisibilidad. Incluyo dos instancias de uso en el problem solving de olimpiada.
Una propiedad de transferencia
Considere la suma $a+b$ de dos números enteros y supongamos que es múltiplo de un primo $p$. Puede suceder que ninguno de los sumandos sea múltiplo de $p$. Pero si alguno lo es, entonces también lo es el otro. Formalmente, la propiedad se puede establecer así:
$a,b\in\mathbb{Z},p$ primo, $p|a+b\Rightarrow (p|a\Leftrightarrow p|b)$
Numeros aluxes
Un entero positivo $n$ es aluxe si el producto de los digitos de $n$ es igual al producto de los digitos de $n+1$. ¿Cuántos enteros aluxes hay menores o iguales a 2011 y mayores o iguales a 1?
Principio de sustitución
Si dos cantidades son iguales entonces son intercambiables --en el cálculo o demostración.
Parece trivial. Y lo es. Pero hay que aprender a usarlo. Antiguamente se solía decir:
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
Pero no se trata de aprender a recitarlo, se trata de aprender a usarlo.
Ejemplos:
1. Considere el sistema $x+y=z$, $z=5$
Aquí tenemos que (dos cosas) $x+y$ y 5 son iguales a $z$ (una tercera). Por tanto, $x+y=5$ (son iguales entre sí).
Discusión sobre las coordenadas de un punto
División sintética --cálculo numérico de $P(x)/(x-c)$
División larga: un algoritmo muy fácil de ignorar
Iba a poner un post sobre división sintética. Lo pospuse para el siguiente. Pues ese algoritmo requiere saber los rudimentos de la división larga. Así que me entretuve (trasquilé la borrega) averiguando cómo se hace (si es que se hace) para enseñar la división larga en la primaria. Y el resultado es este post sobre la división larga. Pues tengo la sospecha (que no carece de evidencia) de que más de la mitad de los alumnos de secundaria no manejan ese algoritmo --mi evidencia son mis alumnos en la universidad...
Examenes de la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas por fin en MaTeTaM
Ya habíamos agregado todos los exámenes de las Olimpiada Mexicana de Matemáticas, ahora por fin tenemos todos los exámenes de la Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas.
Crónica de una sesión en problem solving
El sábado 14 de enero iniciamos Ramón Llanos y yo un curso-taller de resolución de problemas en la UAMCEH-UAT (según la idea del post 20 problemas)
Juego de intercambios con piedras coloreadas
Sean $k$ y $n$ enteros positivos con $k\geq 2$. En una línea recta se tienen $kn$ piedras de $k$ colores diferentes. de tal forma que hay $n$ piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo $m$ tal que siempre es posible lograr con a lo sumo $m$ pasos que las $n$ piedras de cada color queden seguidas si:
- a) $n$ es par,
- b) $n$ es impar y $k=3$
Desigualdad con multiplicadores en $\{-1,1\}$
Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales positivos. Demostrar que existen $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\{-1,1\}$ tales que $$a_1x_1^2+a_2x_2^2+\ldots+a_nx_n^2\geq(a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n)^2$$
